文档介绍：第三章第三章求解线性方程组的迭代方法求解线性方程组的迭代方法 2012 年 11月 13日??引言引言 简单迭代法简单迭代法考虑线性方程组,b Ax?( ) 其中为非奇异矩阵,当为低阶稠密矩阵时,第 2章所讨论的选主元消去法是有效方法. AA但对于的阶数很大,零元素较多的大型稀疏矩阵方程组,利用迭代法求解则更为合适. An迭代法通常都可利用中有大量零元素的特点. A两个简单的例子两个简单的例子例例1 1 已知已知 0a?,任取,任取 00x?,则由,则由 11 ( ) 2 n n na x x x ?? ?( 0, 1, 2, ) n?…例例2 2 已知方程已知方程 2 9 sin 1 x x ? ? x?在在附近有根附近有根. . 1 sin x?那么我们就能从那么我们就能从 x?开始,通过迭代公式开始,通过迭代公式 11 1 si n 3 n n x x ?? ?逐步得到所要求的根逐步得到所要求的根. . 假定我们已会计算假定我们已会计算例1 求解方程组??????????????. 36 12 36 , 33 11 4 , 20 238 321 321 321xxx xxx xxx( ) 记为, b Ax?, 12 36 1 11 4 238?????????????A方程组的精确解是. Tx)1,2,3(*?其中, 3 2 1???????????x x xx. 36 33 20???????????b现将() 改写为????????????????????). 36 36( 12 1 ), 33 4( 11 1 ), 20 23(8 1 21 3 31 2 321xxx xxx xxx( ) 或写为, gxGx?? 0,0 12 3 12 6 11 10 11 4 8 28 30 0?????????????????????G 其中????????????????? 12 36 11 33 8 20 g 将这些值代入() 式右边(若() 式为等式即求得方程组的解,但一般不满足). 任取初始值,例如取 Tx)0,0,0( )0(?,)3,3,(),,( )1(3 )1(2 )1(1 )1( T Txxxx??再将分量代入() 式右边得到,反复利用这个计算程序,得到一向量序列和一般的计算公式(迭代公式) )1(x )2(x??,,,, )(3 )(2 )(1)()1(3 )1(2 )1(1)1()0(3 )0(2 )0(1)0(????????????????????????????????? k k kkx x xxx x xxx x xx 得到新的值?????????????,8/) 20 23( )(3 )(2 )1(1 kkkxxx, 11/) 33 4( )(3 )(1 )1(2?????kkkxxx( ) . 12 /) 36 36( )(2 )(1 )1(3?????kkkxxx简写为其中表示迭代次数 k ).,2,1,0(??k迭代到第 10次有;) 9998813 .0, 999838 .1, 000032 .3( ) 10 ( T x?, )(0 )1(gxGx kk???从此例看出,由迭代法产生的向量序列逐步逼近)(kx 方程组的精确解. *x *). ( 000187 .0 ) 10 () 10 ( ) 10 (xx??????迭代法的基本思想是构造一个向量序列{X (k)},使其收敛到某个极限向量 X *,而 X *就是 AX = b 的准确解。问题:如何构造迭代序列? 迭代序列在什么情况下收敛? 简单迭代法的迭代格式简单迭代法的迭代格式 n阶线性代数方程组 a 11x 1 + a 12x 2 + . ….. + a 1nx n = b 1 a 21x 1 + a 22x 2 + . ….. + a 2nx n = b 2 …… a n1x 1 + a n2x 2 + . ….. + a nnx n = b n 若用矩阵和向量的记号来表示,可写成 AX = b