文档介绍：研究生入学考试重点考点
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第二类曲面积分的计算方法
赵海林 张纬纬
摘要 利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式， Stokes 公式，积
分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解 .
关键词 第二类曲面积分 定义法 参数法 投影法 高斯公式 Stokes 公式 向量计算形
式
引言
曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学****过程中，必
须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧 . 由于第二型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有
一定的难度，而且是数学分析学****中的难点 , 许多学生在求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法，并举例说明了这几种方法
的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系，让各种计算方法更
加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的应用 .
预备知识
2． 1 第二型曲面积分的概念
流量问题 ( 物理背景 )
设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为 1）的速度为
v
v
v
v
v( x, y, z)
P( x, y, z)i
Q(x, y, z) j
R( x, y, z)k ,
∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量 .
v
若 为平面上面积为 S 的区域，而流速 v 是常向量， 指定侧的单位法向量
v
v
v
v
n
cos i cos
j
cosk
则
v
v v
S v cos
S v n.
v
.
若
为曲面，流速
v 不是常向量，则用下面的方法计算流量
分割
将
任意分成小块
(
1,2⋯
同时代表其面积 .
Si
i
, n),
Si
近似
研究生入学考试重点考点
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v
v
v
M i ( i ,
i ,
i )
Si ， 以点 M i 处的流速 v
i
v( M i ) 和单位法向量
ni 分别代替
Si 上其他各点处的流速和单位法向量，得到流过
Si 指定侧的流量的近似值：
Si
v
v
1,2,⋯ , n).
vi
ni
(i
(3)
求和
n
v
v
i
1
vi
ni
Si
(4)
取极限
设 T
1 i
n {
Si的直径 }, 则
=limT0
n v
v
Si .
max
i
1
这种与曲面的侧有关的和式极限就是所要讨论的第二型曲面积分 .
定义
设
P，Q，R
为定义在双侧曲面
上的函数 , 在
S
所指定的一侧作分割
T
,它
S
把 S分为 n个小曲面 S1, S2 ,⋯ ， Sn , 分割 T的细度 T
max
1 i n { Si的径 } ，
T
max
Si的直径 } ， Si yz , Sizx ,
Si xy , 分别表示 Si 在三个坐标面