文档介绍：一、向量在轴上的投影与投影定理
空间两向量的夹角的概念:

b
a ≠ 0, b ≠ 0, ϕ

向量a 与向量 b 的夹角 a

ϕ= (a,b) = (b,a) ()0 ≤ϕ≤π
类似地,可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.
特殊地,当两个向量中有一个零向量时,规定
它们的夹角可在0与π之间任意取值.
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分
空间一点在轴上的投影
• A 过点 A作轴u的垂直
平面,交点′即为点
u A
A′ A在轴u上的投影.
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分
空间一向量在轴上的投影
B
A
u
A′ B′
已知向量的起点A和终点B在
轴u上的投影分别为A′, B′那
么轴u上的有向线段A′B′的
值,称为向量在轴u上的投影.
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(或(AB) )
向量 AB在轴u上的投影记为 Pr ju AB = A′B′. u
关于向量的投影定理(1)
向量AB在轴u上的投影等于向量的模乘
以轴与向量的夹角的余弦:
Pr ju AB =| AB | cosϕ
证
B Pr ju AB = Pr ju' AB
A
ϕ u′
B′′ u =| AB | cosϕ
A′ B′
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关于向量的投影定理(2)
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在
该轴上的投影之和. (可推广到有限多个)

Pr j(a1 + a2 ) = Pr ja1 + Pr ja2 .
A C

a a2
1 B u
A′ B′ C′
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二、向量在坐标轴上的分向量与向量
的坐标

设 a = M1 M2 为一向量,u 为一条数轴.
点 M1 , M2 在轴 u 上的投影分别为点 P1 , P2.
又设 P1 , P2 在轴 u 上的坐标依次为 u1 , u2.
M2
M1
o P1 P2 u
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如果e 是与u轴正向一致的单位向量,
由例1知

P1P2 = (u2 − u1 )e.

设a是以M1 (x1 , y1 , z1 )为起点、M 2 (x2 , y2 , z2 )
为终点的向量,过各作垂直于三个坐标
M1 , M 2
轴的平面,这六个平面围成一个以线段M1 M 2
为对角线的长方体.
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以i , j, k 分别表示沿 x, y, z轴正向的单位向量.

z
a = a向量在xi + a向量在y j + a向量在zk
R
M

• 2
M
k 1• Q
轴上的投影y轴上的投影z轴上的投影
P N x
o
y

j
x i
ax = x2 − x1
a y = y2 − y1 az = z2 − z1

M1M 2 = (x2 − x1 )i + ( y2 − y1 ) j + (z2 − z1 )k
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按基本单位向量的坐标分解式:

M1M 2 = (x2 − x1 )i + ( y2 − y1 ) j + (z2 − z1 )k

在三个坐标轴上的分向量:axi , a y j, azk,
向量的坐标: ax , a y , az ,

向量的坐标表达式: a = (ax , ay , az )
M1M 2 = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)
特殊地: OM = (x, y, z)
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