文档介绍：.
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第三、四章 总结课
一. 向量组的线性相关性
二. 矩阵的秩、向量组的秩的求法
三. 关于向量组的秩、矩阵的秩的证明
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一. 向量组的线性相关性
1. 向量间的线性运算：加法、数乘。
把向量理解为列矩阵或行矩阵时，事实上就是矩阵的加法
和数乘。
注意: (1)同维向量做加减。
(2)零向量参与运算时，维数与其它向量维数相同。
2. 线性组合、线性表示
(1) 判断向量 可由向量组 线性表示的常用方法
方法1：
只要证出
就可得出
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方法2：
证下列线性方程组有解
其中
方法3：
利用矩阵的初等行变换
行最简形矩阵
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(2) 在判断或证明中，常用到的两个重要结论
结论1：
向量 可由向量组 线性表示
结论2：
若向量组
线性无关，
而向量组
线性相关，
则向量 必能由向量组 线性表示，
且表示式唯一。
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(2) 利用常用结论：
1个零向量线性相关；一个非零向量线性无关。
2个非零向量线性相关
对应分量成比例
n＋1个n维向量线性相关。
部分相关 整体相关；整体无关 部分无关。
3. 线性相关性的判别方法
(1) 一般方法：设数
使得
成立
转化为齐次线性方程组是否有非零解的问题。
原向量组无关，维数增加后得到的新向量组依然无关；
原向量组相关，维数减少后得到的新向量组依然相关。
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(3) 利用向量组的秩判断：
设向量组
的秩为
当 时， 线性无关。
当 时， 线性相关；
4. 极大无关组的选取或证明
(1) 初等变换法（最常用）
将列向量组写成矩阵
初等行变换
行阶梯或行最简形矩阵
的一个极大无关组，
例如：求向量组
并把其余向量用该极大无关组线性表示。
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解：
是一个极大无关组
并且
考虑：还有那些极大无关组？
初等行变换
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(2) 极大无关组的证明
方法1：利用定义
线性无关；
其它向量都可由
线性表示。
（即向量组中任意r+1个向量都线性相关）
方法2：已知
是向量组A的一个极大无关组，
又A中部分组
与
等价，
则
也是A的一个极大无关组。
例如：设
是向量组A的极大无关组，且
证明 也是A的极大无关组。
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证明：（希望证 与 等价）
向量组 可由向量组 线性表示。
又
向量组 可由向量组 线性表示。
两个向量组等价
也是极大无关组。
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二. 矩阵的秩、向量组的秩的求法
初等变换后，看非零行的行数。
三. 关于向量组的秩、矩阵的秩的证明
关于向量组的秩的两个重要定理：
（1）若向量组
可以由向量组
线性表示，则
（2）若向量组 可以由向量组
线性表示，并且
线性无关，那么