文档介绍：: .
应用性问题的解法
1•内容概要：
高考对数学应用和实践能力的考查要求是： 能综合应用所学数学知识、思想和方法解决
问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题；能阅读、理解对问题进行陈述的材 料；能够对所提供的信息资料进行归纳、 整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数
学模型；应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表述、说明。
解答数学应用题是分析问题和解决问题的能力的高层次表现， 反映出考生的创新意识和
实践能力。从2000年新课程的试卷，突出新增加的向量，概率，导数等知识的应用性。但 是应用题的范围是很广泛的，除以概率为模型之外，建立函数，数列，三角，曲线等模型解 决实际问题也应该成为复习的重点。要想掌握好高考试题中应用问题的求解 ，重点在于提高
整理分析实际问题中的数据，抽象概括出数学模型的能力和数学中的综合推理演算的能力 •
2•典例精析：
类型一：函数应用题
例1：（ 2008年湖北卷理科）
水库的蓄水量随时间而变化，现用 t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据,
某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于 t的近似函数关系式为
2 1x
V(t) ( t2 14t 40)e4 50,0 t 10,
4(t 10)(3t 41) 50,10 t 12.
(i ) 1 t i表示第1月份
（i 1,2,L ,12 ），同一年内哪几个月份是枯水期 ？ 全 品高考网
（n）求一年内该水库的最大蓄水量（取 e ）
考查用导数求最值和综合运用数学
分析：本小题主要考查函数、 导数和不等式等基本知识,
知识解决实际问题能力
解析：（I
）①
当0 t 1
0 时，V(t)
2
t 14t 40
0,
解得t
4，或t 10,又
0 t 10，故
②当10
t
12时，V(t)
4(t 10)(3t
解得10
t
41
，又10
3
t 12,故 10
综合得（
0 t
4,或 10 t
12;
故知枯水期为
1月，2月，
3月，11月,
(t2
14t
4.
1
X
40)e4 50 50 ,化简得
41) 50 50,化简得(t 10)(3t 41) 0 ,
t 12.
12月共5个月.
(n)( i)知：v(t)的最大值只能在(4,10)内达到.
t 1 2 3 1 -t
由 V (t) =c4 (丄严 3t 4) -c4 (t 2)(t 8),
4 2 4
令 V (t)=0,解得 t=8(t=-2 舍去).
当t变化时，V' (t)与V (t)的变化情况如下表:
t
(4,8)
8
(8,10)
V' (t)
+
0
-
V(t)
极大值
由上表，V(t)在t = 8时取得最大值 V(8)= 8e2+50-(亿立方米).
故知一年内该水库的最大蓄水量是
类型二：数列应用题
例2: (2007年安徽卷理科)
某国采用养老储备金制度•公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为 a1，以后每
年交纳的数目均比上一年增加 d (d>0),因此，历年所交纳的储务金数目 a1, a2, ••是一个
公差为d的等差数列，与此同时， 国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算 复利•这就是说，如果固定年利率为 r (r>0),那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就 变为a1 (1 + r)厂1，第二年所交纳的储备金就变为 a2 (1 + r)旷2, ••…,以Tn表示到第n
年末所累计的储备金总额.
(I )写出Tn与Tn— 1 (n疑)的递推关系式；
(n )求证：Tn= An+ Bn，其中｛ An｝是一个等比数列，｛ Bn｝是一个等差数列.
分析：本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提 取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力.
解析：(I)我们有 Tn Tn 1(1 r) an(n > 2).
(n ) T a1，对n > 2反复使用上述关系式，得
Tn
Tn 1(1 r)
an Tn 2(1
r)
an
1(1
r)
an
L
印(1 r)n1
n 2
a2(1 r)
L
an
1(1
r)
an ,
①
在①式两端同乘
1 r，