文档介绍：第1章函数、极限与连续函数邻域?????????axxaU, (即????, U a x a x a ? ??? ????)???? 0 , 0 U a x x a ? ?? ???(???? 0 , , 0 U a x a x a x ? ??? ?????) 函数两个要素:对应法则 f 以及函数的定义域 D 由此,两函数相等?两要素相同;(与自变量用何字母表示无关) 解析表示法的函数类型:显函数,隐函数,分段函数; 特性局部有界性对集合 DX?,若存在正数 M ,使对所有 Xx?,恒有?? Mxf?,称函数?? xf 在X 上有界,或?? xf 是X 上的有界函数;反之无界,即任意正数 M (无论 M 多大),总存在(能找到) Xx? 0 ,使得?? Mxf? 0 局部单调性区间DI?,对区间上任意两点 21xx ,当 21xx?时,恒有: ???? 21xfxf?,称函数在区间 I 上是单调增加函数; 反之,若???? 21xfxf?,则称函数在区间 I 上是单调减小函数; 奇偶性设函数?? xf 的定义域 D 关于原点对称;若 Dx??,恒有???? xfxf??, 则称?? xf 是偶函数;若 Dx??,恒有???? xfxf???,则称?? xf 是奇函数; 周期性若存在非零常数 T ,使得对 Dx??,有?? DTx??,且???? xfTxf??,则称?? xf 是周期函数; 初等函数几类基本初等函数:幂函数;指数函数;对数函数;三角函数;反三角函数; 反函数求法和性质;复合函数性质;初等函数数列极限数列极限定义(N??):任意给定正数?(无论多小),总存在正整数 N ,使得对于 Nn?时的一切 nx ,总有???ax n 成立,则 ax nn??? lim ; 数列极限的性质: 极限的唯一性;收敛数列必有界;收敛数列的保号性; 子数列收敛性; ?? Axf x??? lim 函数?? xf 当x 大于某正数时有定义,如果对任意给定正数?(无论多小),总存在正数 X ,使对满足 Xx?的一切 x ,总有?????Axf 函数的极限函数极限定义?? Axf xx?? lim 函数?? xf 在0x 的某一去心邻域有定义,如果对任意给定正数?(无论多么小),总存在正数?,使对满足???? 00xx 的一切 x , 总有?????Axf 单侧极限?? xf x ??? lim??????Axf x lim?? Axf x???? lim 且?? Axf x???? lim ?? xf x ??? lim 单边极限?? xf xx lim ???????Axf xx 0 lim?? Axf xx?? lim 且?? Axf xx???? 0 lim ?? xf xx lim ??函数极限的性质:唯一性,有界性,保号性,子序列的收敛性; 无穷小与无穷大( 以 xx?)为例无穷小定义:极限为零的变量(函数); 定理: 定理函数表示: 无穷小性质: 1.?? Axf xx?? 0 lim 的充要条件是?????Axf ,其中?是当 0xx?时的无穷小; ; ; 无穷大定义:任意给定正数 M (无论多大),当0xx?(即存在正数?,当???? 00xx 时),总有?? Mxf?; 正无穷大,负无穷大统称为无穷大; 无穷大一定是无界变量,但无界不一定是无穷大; 极限运算法则 ; ; 3 .求极限的其他技巧:如约掉非零的无穷小或分子(分母)有理化;利用定理:有界量与无穷小的乘积为无穷小极限存在准则, 两个极限准则 :单调有界数列必有极限; 极限 0 sin lim 1 ??,?? 10 lim 1 e ?? ?(或1 lim 1 e ??? ?? ?? ?? ?); 柯西极限存在准则无穷小的比较无穷小的比较(定义):高阶;低阶;同阶及等价; k 阶无穷小。几个等价无穷小公式:(内可填变量或函数,如:当0x?时 2 2 2 sin ~ ~ ln(1 ) x x x ?) 当0?时, sin ~ ; tan ~ ; arcsin ～ arctan ~ ;?? ln 1 ~ ?; 1~ e?;1a?～ lna ;?? 1 1 ?? ?～?; 定理: ?～?充要条件是?????o??函数的连续与间断定义 ?? xf 在0x 的某邻域有