文档介绍：1 第1 章函数、极限与连续教学过程§ 1--1 初等函数一、基本初等函数我们把幂函数 y=x ?( ??R)、指数函数 y=a x(a >0且a ? 1)、对数函数 y =log ax(a >0且a ? 1)、三角函数 y =sin x,y =cos x,y =tan x,y =cot x,y =sec x,y =csc x 和反三角函数 y =arcsin x,y =os x, y =arctan x,y =ot x 统称为基本初等函数. 很多时候也把多项式函数 y=a nx n+a n-1x n-1 +...+ a 1x+a 0 看作基本初等函数. 二、复合函数定义 1 如果 y是u 的函数 y=f(u),而u 又是 x 的函数 u= ?(x),且?(x) 的值域与 y=f(u) 的定义域的交非空, 那么,y 通过中间变量 u 的联系成为 x 的函数, 我们把这个函数称为是由函数 y=f(u)与u= ?(x) 复合而成的复合函数,记作 y=f[ ?(x )]. 学习复合函数有两方面要求:一方面,会把几个作为中间变量的函数复合成一个函数, 这个复合过程实际上是把中间变量依次代入的过程; 另一方面, 会把一个复合函数分解为几个较简单的函数, 这些较简单的函数往往是基本初等函数或是基本初等函数与常数的四则运算所得到的函数. 例1 已知 y =ln u,u=x 2 ,试把 y 表示为 x 的函数. 解y =ln u =ln x 2,x ?(- ?,0) ?(0,+ ?). 例2设y=u 2,u =tan v,v=2 x ,试把 y 表示为 x 的函数. 解y=u 2 =tan 2v =tan 22 x . 复合函数的中间变量可以不限于一个. 例3 函数 y =e sin x 是由哪些简单函数复合而成的? 解令u =sin x ,则 y =e u ,故 y =e sin x 是由 y =e u,u =sin x 复合而成的. 例4 函数 y =tan 3(2 lnx+1 )是由哪些初等函数复合而成的? 解令u =tan (2 lnx+1 ) ,则 y=u 3 ;再令 v =2lnx+1 ,则 u =tan v. 故y =tan 3(2 lnx+1 )是由 y=u 3,u =tan v,v =2lnx+1 复合而成的. 三、初等函数定义 2 由常数和基本初等函数, 经过有限次四则运算和有限次复合而成的, 并且能用一个式子表示的函数,: 2 ),1( log ,1 sin 2 2 xxaaayxxyx xy ????????等都是初等函数. 例5 分解?? 31 sin xey ??. 解令u =sin(1+3 x 2) ,得 y =e u ;再令 v =1+3 x 2 ,得 u =sin v. 2 故?? 31 sin xey ??是由 y =e u,u =sin v,v =1+3 x 2 复合而成的定义 3设 a,R??,?>0, 数集? x| |x-a|< ?,x? R?, 即实数轴上和 a 点的距离小于?的点的全体, 称为点 a的?邻域, 记作 U( a,?),点a 与数?分别称为这邻域的中心和半径. 有时用 U(a) 表示点 a 的一个泛指的邻域. 数集? x|0<|x-a|< ?,x? R?, 称为点的空心?邻域,记作),( 0?aU . U( a,?) =(a-?,a+?), ).,(),(),( 0??????aaaaaU?小结作业 3 § 1--2 极限一、数列的极限两个数列: ;,2 1,,8 1,4 1,2 1?? n (1).,1 ,,4 3,3 2,2 1???n n (2) 在数轴上表示. 数列(1) 中的项无限趋近于 0 ,数列(2) 中的项无限趋近于 1. 定义 1 当数列{a n} 的项数 n 无限增大时,如果 a n 无限地趋近于一个确定的常数 A,那么就称这个数列存在极限 A, 记作 nna ?? lim =A . 读作“当n 趋向于无穷大时,a n 的极限等于 A”. 符号“?”表示“趋向于”,“?”表示“无穷大”,“n ??”表示“n 无限增大”.Aa nn??? lim 有时也记作当 n ??时, a n?A ,或 a n?A,(n ??). 若数列{a n} 存在极限,也称数列{a n} 收敛;若数列{a n} 没有极限,则称数列{a n} 发散. 注意: (1) 一个数列有无极限,应该分析随着项数的无限增大,数列中相应的项是否无限趋近于某个确定的常数, 如果这样的数存在, 那么这个数就是所论数列的极限, 否则数列的极限就不存在. (2) 常数数列的极限都是这个常数本身. 二、函数的极限自变量 x 的变化过程: (1) x 的绝对值|x| 无限增大( 记作 x ??);