文档介绍：:本节与第3章的核心内容提要
⑴一个核心概念一线性相关性
⑵两个流程框图一齐次/非齐次线性方程组解法
⑶三个重要方法一求向量组的秩/求极大线性无关组/用极大
线性无关组表示其余向』
⑷四个常用性质一齐次/非齐次线性方程组解的性质
⑸五个判定定理一线性相关性定理
定义1给定〃维向量月，%, am
fil
,如果存在一组数
砰％北％+・・・+",〃，
则称向量尸是向量组％, %，…，％〃的线性组合，或称㈣由向量 组％, a2，…，线性表示.
％=(1,0,0), %=(°，1，°)，%=(°，°，1)，少(2,—1,1), 则/3=(2,-1,1)是向量组％, %, %的线性组合.
因为 2%—％ + % =2(1, 0, 0)-(0,1,0)+(0, 0,1) =(2, —1,1)= 0,
即化(2,-1,1)是向量组％, %, %的线性组合，也就是说㈣ 由
%, %，%线性表示-
定义1给定〃维向量月，%, am
fil
,如果存在一组数
砰％北％+・・・+",〃，
则称向量尸是向量组％, %，…，％〃的线性组合，或称㈣由向量 组％, a2，…，线性表示.
〃维向量a=(av av…，妇都是〃维向量组 q=(l, 0, - , 0), e2=(0,1, .., 0),…,e”=(0, , 1)的线性组合.
这是因为公云1。1+ a2e2+…+ an eu.
I__________________________
| ==
注：向量组e” ％e〃称为〃维单位(或基本)向量组.
1，
fil
定义1给定〃维向量0, %, %，…，am,如果存在一组数
2，使
砰％北％+・・・+",〃，
则称向量尸是向量组％, %,…，％〃的线性组合，或称㈣由向量 组％, a2，…，线性表示.
.
这是因为。=0・％+ 0・％+…+ 0- am・
％, %，…，％,中的任一向量％（1女3）都是 此向量组的线性组合.
这是因为 ％=（）•%+…+ 1・％+…+ 0・OLm .
m
9
中
其
〃
5
♦
2
11
--
• J
、 /
1J27M 如
Q Q Q
/ I
--
• J
a
、 MJ
侃々N人〃
‘ ，—
5
7
7
X
2
TP
〃
x{ +a2 x2 +L
x{ +x2 a2 +L +x
+ a
即
或
+—
定义2设有〃维向量组％, %,…，％,,如果存在一组
不全为零的数klf k2, , km,使
她出2%+…+勾电*
成立，则称向量组％, %,…，％线性相关，否则，即只有
当klf k2,,如全为0时
稣%廿2%+"・+如％,=° W
才成立，则称向量组％ , %,…，％线性无关. ]
线性相关性判定方法 |
一般方法，用于侦个〃、
判 J
定定理及后面向量组的秩等内容进行判定，特别当利用定义时耳 使用观察法.
特殊方法,•用于〃个〃维向量组的情粉
a3 = 2a{ + a2 ?
整理得 2a{ +la2 +(—1)。3 =o, 即存在一组不全为零的数
k{ = 2)k2 = 19 电=一1,
使得
kAa{ + k2a2 + k3a3 = o,
所以向量组％,血,%,线性相关.
例7 .讨论下列向量组的线性
相关性，其中:
解：…
卜页
羸1爵醐I特殊方法
对于〃个〃维向量组成的向量组％, %,…，%,设有一组数 X，*2,…，*〃，使
k]%休2%+…成立.
由向量的运算性质可得
k1ai+k2a2+ …+kn %=。,即
(-\
/一 \
( \
a21
%
知+财
a22
+... + kn
• • •
• • •
• • •
<a\n)
顶2"
从而得向量组％, %，…，％，
0
♦ • •
ank{ +a2[k2 +L = 0
ank{ + a22k2 +L + an2kn = 0
L L
、弓人+%*2+L +annkn =0
线性无关的充分条件是:
M
。〃2
“12 a22 L
M M
C如L
丰0.
注rs后还会看到；皂
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