文档介绍：函数的奇偶性 y =x 2 -xx 当x 1=1, x 2= -1 时, f(-1) = f(1) 当x 1=2, x 2=-2 时, f(-2)= f(2) 对任意 x,f(-x )=f(x ) 3xy?当x 1=1, x 2= -1 时, f(-1)= -f(1) 对任意 x, f(-x )= - f(x ) -xx 偶函数定义:如果对于函数定义域内的任意一个 x , 都有 f(-x )=f(x )。那么f(x )就叫偶函数。奇函数定义:如果对于函数定义域内的任意一个 x , 都有 f(-x )= - f(x )。那么 f(x )就叫奇函数。例1、判断下列函数的奇偶性 21)(xxf??)( ),( 1)(1)( 2 2xfxf xxxf????????(2)解: (1) 因为 f(-x )=2x= - f(x ) ,所以 f(x)是奇函数。(2) 因为 f(x )的定义域为[-1,1] 是偶函数。 xxf2)(??(1) 12)(??xxf(4) (3) ])1,3[(??x 2)(xxf?? 2 2 [ 3,1] x ? ??当时,由于故 f(2) 不存在,所以就谈不上与 f(-2) 相等了,由于任意性受破坏。所以它没有奇偶性。解: (3) (4) )()( )()(,12)(xfxf xfxfxxf??????????且因为故函数没有奇偶性。首要条件: 定义域是否关于原点对称思考: 在刚才的几个函数中有的是奇函数不是偶函数,有的是偶函数不是奇函数,也有既不是奇函数也不是偶函数的。那么有没有这样的函数, 它既是奇函数又是偶函数呢? f(x )=0 是不是具备这样性质的函数解析式只能写成这样呢? 例2、已知函数 f(x )既是奇函数又是偶函数。求证: f(x )=0 证明:因为 f(x ) 既是奇函数又是偶函数所以 f(-x )= f(x ),且 f(-x )= - f(x)所以 f(x )= - f(x)所以 2f(x)=0 即 f(x )=0. 这样的函数有有多少个呢? 多个所以这样的函数有无数偶函数是但它们都既是奇函数又显然是不同的函数和如若改变函数的定义域只是解析式的特征, , , , xxfxxf , , xf },2,101,2{,0)(]1,1[,0)( )(???????函数按是否有奇偶性可分为四类: (1) 奇函数; (2) 偶函数; (3) 既是奇函数又是偶函数; (4) 既不是奇函数又不是偶函数. 例3、判断下列函数的奇偶性??)()(2Raaxf??)0()()1(???kb kx xf(1)解: 当 b=0 时, f(x)为奇函数,当 b 0 时, f(x ) 既不是奇函数,也不是偶函数。 2、解:当 a=0 时, f(x ) 既是奇函数又是偶函数,当 a 0 时, f(x)是偶函数。??