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第四节、指数函数
一、初中根式的概念；
如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根，如果一个数的
立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根；
（一）指数与指数幂的运算
1． 根式的概念
一般地，如果 xn a ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n >1，且 n ∈ N * ．
n 是奇数时，正数的 n 次方根是一个正数， 负数的 n 次方根是一个负数． 此时， a 的 n 次方根用符号 n a 表示。
式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数 。
n 是偶数时，正数的 n 次方根有两个， 这两个数互为相反数． 此时，正数 a
的正的 n 次方根用符号 n a 表示，负的 n 次方根用符号－ n
a 表示．正的 n 次方根
与负的 n 次方根可以合并成± n
a （ a >0）。
由此可得： 负数没有偶次方根；
0 的任何次方根都是
0，记作 n 0 0 。
思考： n an = a 一定成立吗？
结论：当 n 是奇数时， n
an
a
当 n 是偶数时， n
a n
| a |
a
(a
0)
a
(a
0)
1
3
3
3
例 1、（ 1） 6
- 3
4
8
（2） x2
2xy y2
7
7 =
( x y)
1
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2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义
规定：
m
a n
n a m (a 0, m, n N * , n 1)
m
1
1
a n
*
, n 1)
m
n am
(a 0, m, n N
a n
0 的正分数指数幂等于
0， 0 的负分数指数幂没有意义
指出：规定了分数指数幂的意义后， 指数的概念就从整数指数推广到了有理
数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．
3．有理指数幂的运算性质
（ 1） a r · a r ar s (a 0, r , s Q) ；
（ 2） (ar )s a rs (a 0, r , s Q) ；
（ 3） ( ab)r a r as (a 0,b 0, r Q ) ．
无理指数幂：一 般地，无理数指数幂 a (a 0, 是无理数 ) 是一个确定的
实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
对于根式的运算， 简单的问题可以根据根式的意义直接计算， 一般要将根式化为
分数指数幂，利用分数指数幂的运算性质来进行计算。
2
1 b
1
2
a