文档介绍：递 归
冯文科
一、递归的基本概念。
一个函数、概念或数学结构，如果在其定义或说明内部直接或间接地出现对其本身的引用，或者是为了描述问题的某一状态，必须要用至它的上一状态，而描述上一状态，又必须用到它的上一状态……这种用自己来定义自己的方法，称之为递归或递归定义。在程序设计中，函数直接或间接调用自己，就被称为递归调用。
二、递归的最简单应用：通过各项关系及初值求数列的某一项。
在数学中，有这样一种数列，很难求出它的通项公式，但数列中各项间关系却很简单，于是人们想出另一种办法来描述这种数列：通过初值及与前面临近几项之间的关系。
要使用这样的描述方式，至少要提供两个信息：一是最前面几项的数值，一是数列间各项的关系。
比如阶乘数列
1、2、6、24、120、720……
如果用上面的方式来描述它，应该是：
如果需要写一个函数来求的值，那么可以很容易地写成这样：
int f(int n)
{
if(n==1)
return 1;
return n*f(n-1);
}
这就是递归函数的最简单形式，从中可以明显看出递归函数都有的一个特点：先处理一些特殊情况——这也是递归函数的第一个出口，再处理递归关系——这形成递归函数的第二个出口。
递归函数的执行过程总是先通过递归关系不断地缩小问题的规模，直到简单到可以作为特殊情况处理而得出直接的结果，再通过递归关系逐层返回到原来的数据规模，最终得出问题的解。
以上面求阶乘数列的函数为例。如在求时，由于3不是特殊值，因此需要计算，但是对它自己的调用，于是再计算，2也不是特殊值，需要计算，需要知道的值，再计算，1是特殊值，于是直接得出，返回上一步，得，再返回上一步，得，从而得最终解。
用图解来说明，就是
的执行过程
（特殊值判断：）
，继续向下。
（递归关系处理：）
求，需要先计算，调用，且本身挂起……
……
……
得到，由正常出口返回
的执行过程
（特殊值判断：）
，继续向下。
（递归关系处理：）
求，需要先计算，调用，且本身挂起……
……
……
得到，由正常出口返回
的执行过程
（特殊值判断：）
，由特殊情况出口直接返回1。
下面再看一个稍复杂点的例子。
【例1】数列的前几项为
1、、、、……
输入，编程求的精确分数解。
分析：
这个题目较易，发现，其它情况下有。如要求实数解的话，这基本已经可以写出递归函数了。但由于题目要求精确的分数解，还需做一些调整。设，则由递归关系，有，再约分化简，即得。但发现一个问题：求出时，需要返回两个整数：分子与分母，而通常的函数只能返回一个整数。
这个问题一般有两类解决办法，一种是让求值函数返回一个结构体变量，这样就可以返回两个变量了（其实还可以不只两个呢）；另一种是在求值函数的参数表中加入两个指针变量或引用变量，通过参数给带回数值。但由于后一种做法会使程序结构不清晰——返回值是由参数表得到的，因此我们使用前一种方法。
另外，在通过得出后，就已经是最简分数了，无须化简。证明如下：
若是最简分数，即说明的最大公约数为1，即对任何，都有与不全为0，不防记、，则有
只要与不全为0，且，就有与不全为0。因此对任何的，有与不全为0。
而对于的情况而言，记，则有
由于，因此同样有与不全为0。
所以对任意，都有与不全为0，因此它们的最大公约数为1，即是最简分数。虽然这是个要求（即）是最简分数的结论，但由于数列第二项为，是最简分数，因此可以证明第三项也是最简分数，同时也证明对所有的，求出的就是最简分数，无须化简。
具体代码如下：
//
#include <iostream>
using namespace std;
struct FS
{
unsigned long long q, p;
};
FS f(int n)
{
FS r;
if(n==1)
{
=1;
=1;
return r;
}
r=f(n-1);
=+;
=-;
return r;