文档介绍：定积分的例题分析及解法
本章的基本内容是定积分的概念、计算和应用
定积分的概念
定积分是下列和式的极限
rb 2L
I f(x)dx = limX f (歹)Axi
J" * 2->Oz=l *
其中 A = max {Ari}
I©®
因此，定积分是一个数，它依赖于被积函数/(x)和积分区间®,b)
定积分与积分变量用什么字母无关:
rh
f(x)dx =J
Ja
线性性质
(2)
(3)
定积分的几何意义是曲边梯形的面积(当被积函数/(x) n o时)。
(仏/⑴ + k2g(x)}lx = kx £/ (x) Jx +^2 £ Mdx
^f(x)dx = -£ f(x)dx^f(x)dx = 0 f/(x)dx =[ f (x)dx + f f (x)dx
Ja Ja Jc
⑷ 若 /(x) > g(x),则 ^f(x)dx >£/?{x)dx
积分中值定理：设/(x)在(a,b)上连续，则在(a,b)上至少存在一点g,使下式成立
h
(x)dx = f(g)(b 一 a\ 其中 g g []。
(6)
估值定理：若/⑴在(a,b)上可积，且m<f(x)<M ,则有不等式
m(b-a)< f(x)dx<M(b-a)
Ja
(7)若函数/(x)在(a,b)上连续，则有
f「几妙=/(兀) dxJa
广义积分。
二、定积分的计算
：
f(x)dx = F(b)-F(a)
Ja
换元法：注意，在换元的同时不要忘记换积分限
3・分部积分法：
j u(x)du(x) = u(x)du (x)
定积分的近似计算：梯形，抛物线法。
三、定积分的应用
1:11
基本方法是：(1)代公式；(2)微元法
平面图形的面积
直角坐标系。注意选择合适的积分变量兀或y可使计算简化
参数方程
极坐标系
旋转体体积
3・平面曲线弧长
UH
：变速直线运动的路程(已知速度函数变力作功，引力，液体侧压力。
注：定积分的几何应用可直接代公式，要求记住面积、体积和弧长的公式，定积分的物理应用强调用 微元法，解题的一般步骤是：
建立坐标系；
取典型微段；
写出微元表示式；
写出所求量的定积分表达式，并进行计算。
一、疑难解析
在这一章中，我们接触到了微积分学中的又一个重要的基本概念：定积分，与前面所学过的函数在某 点连续或可导等概念相比，定积分的概念显得要复杂些，定积分反映的是函数在一个区间上的整体性质， 当然定积分的概念也是利用极限的概念来建立的，这与连续、可导的概念相类似，但它是另一种形式的极 限，因此它的很多性质可以由极限的性质而得来，另一方面需要特别指出的是，与前一章不定积分的概念 相比，这两者只一定之差，却有着本质的不同，前者讨论的是函数的原函数，而后者是一个和式的极限。 这一点在学****过程不要使之相混淆。当然，微积分基本定理(即牛顿一莱布尼茨公式)反映了定积分与 不定积分的内在联系，或者说微分学与积分学的内容在联系。
关于定积分的定义
在定积分的定义中，极限
limf
在存在不依赖于对卜上］区间的分法，也不依赖于歹在小区间k+兀］上的取法a = 12...,门)，这两
点非常重要，不可缺少，换言之，若由于(a,b)的分割法不同而使极限
limf
x->()/=!
取不同，则/⑴在［d,司上是不可积的：若上述极限由歹的取法不同而取不同的值时，/（兀）在肚切 上同样不可积。
函数/（兀）在［d,b］上可积的条件与/（兀）在［d,b］上连续或可导的条件相比是最弱的条件，即/（X）在 卜上］上有以下关系。
可导二> 连续二> 可积
反之都不一定成立。
定积分fy（x）dx是一个数，当被积函数/（兀）及积分区间彳给定后，这个数便是确定的了，它除
rb
了不依赖于定义中的区间分法和歹的取法外，也不依赖于符号\ f（x）dx中的积分变量兀，即 Jq
『b rb
f fMdx=［ f（t）dt9因此，定积分记号中的积分变量可以用任何字母来表示，此外，对于定积分符号 Ja Ja jj（x）dx意味着积分变量A-的变化范围是a<x<h.
（二）有关定积分的性质
在定积分的性质中，除了类似于不定积分的线性性质以外，还要记住下列基本公式: f fMdx = -^f（x）dx
r
Ja
f(x)dx = O
\dx = b-a
定积分关于积分区间的可加性是一个很重要并且在计算定积分时常用的性质,即
£ fMdx + f }\x)dx = ^f(x)dx
当利用牛顿一莱布尼茨公式计算定积分时，若被积函数是分段函数，就需用到这