文档介绍：在险价值( VaR ) ---定义及其计算主讲教师:郭文旌一、 VaR 的定义? VaR 就是按某一确定的置信度,对某一给定的时间期限内不利的市场变动可能造成资产价值的最大损失的一种估计。?例: ?一个基金经理希望在接下来的 10 天时间内以 95% 概率保证其所管理的基金价值损失不超过$1,000,000 。则我们可以将其写作: 其中为投资组合价值的变动。用符合表示, 其中为置信度,在上述的例子中是 95% 。 Pr ob( - ) 1 % V VaR X ? ? ?? Pr ob( -$1, 000, 000) 5% V ? ? ?? VaR 的数学定义: ? W-- 终止时间 T时刻的期望财富量?W t --财富过程??--置信水平? VaR ?= inf {v|P( W T? W-v) ? 1-?} ?若知道 W T的分布函数为 F(x ),且假定连续,则? VaR ?=W-F -1 (1- ?) ?置信水平的选择: ?置信水平(度)通常使用的是 95% 、 % 或 99% 。?置信水平的含义: 95% 表示预期 100 天中只有 5天的损失会超过对应的 VaR 值; % 表示预期 100 天中只有 2天半的损失会超过对应的 VaR 值; 99% 表示预期 100 天中只有 1天的损失会超过对应的 VaR 值。 1-? VaR ?但是 VaR 并没有告诉我们在可能超过 VaR 损失的时间内(如 95 %置信度的 5/100 天中;或 99 %的 1/100 天中)的实际损失会是多少。 1-? VaR 二、 VaR 的计算?1、单一资产的 VaR 值的计算?假设我们持有某一股票,现价值为 S,年波动率为σ。我们想要知道在接下来一个星期内具有 99% 确定性的最大可能损失是多少。?假定股票收益率是正态分布,即收益率 R ~N(0, ?)。?首先将波动率换算: 252 552 year day week day year week ? ?? ?? ????????????????????????? 1)()( )()()()(S SxNS SxRP S SxRPS SxS SSPxSPxF T T)1()1( 1 1??????????NSSxF所以以上假定股票的收益率具有均值为零的正态分布。零均值的假定对很短时间期限是有效的,但均值按时间本身的比例变化。对于较长的时间度量,表达式应该考虑对资产价值的漂移加以修正。如果这个漂移率为μ。)1( )1()1( 1 1 1??????????????????NS NSSSFS VaR )]1([ 1???????NTS VaR 例1 ?我们持有一个价值为$100 万的 X公司的股票头寸, X公司股票的日波动率为 3% ( 约为年 48% ) ,假定该投资的价值变动是正态分布的并且投资价值的预期变动为零(这对很短的时间期限是正确的),计算 10 天时间置信度为 99 %的在险价值。 21 .221043 )33 .2(10 03 .01000000 )1( 1?????????????NS VaR ?2、投资组合的 VaR 值的计算?设投资组合由 n个资产所组成。第 i 个资产的价值为,波动率是,而第 i 个资产和第j个资产之间的相关系数是(其中=1) 。该组合在第 i个资产上的投资比例为?则?其中)1( 1??????NS VaR PP P??? ni iiPSxS 1????? nj ni ijjijiPxx 11???? i? ij? ii? iS ix ?例2 ?我们持有的投资组合由$100 万投资于 X公司的股票和$200 万投资于 Y公司的股票构成。 X公司股票的日波动率为 3% ,而 Y公司股票的日波动率为 2% ,并且X公司股票与 Y公司股票收益率之间相关系数为 。假定该投资组合的价值变动是正态分布的并且投资组合价值的预期变动为零(这对很短的时间期限是正确的),计算 10 天时间置信度为 99 %的在险价值。$448184 )1( 1???????NS VaR PP P