文档介绍：《概率统计》下页结束返回前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差,对于多维随机变量,反映分量之间关系的数字特征中,最重要的,就是本讲要讨论的“协方差和相关系数”. § 协方差和相关系数下页《概率统计》下页结束返回任意两个随机变量 X和Y的协方差, 记为 Cov (X,Y ), [ Covariance ]定义为⑶ Cov (X 1+X 2,Y )= Cov (X 1,Y ) + Cov (X 2,Y ) ⑴ Cov (X,Y )= Cov( Y,X) 一、协方差 ⑵ Cov (aX ,bY ) = ab Cov( X,Y ) a,b是常数 Cov(X ,Y )=E {[ X-E(X )][Y -E( Y ) ]} 《概率统计》下页结束返回 Cov (X,Y )=E( XY ) -E(X)E(Y)可见,若 X与Y独立, Cov (X,Y )= 0 . 3. 计算协方差的一个简单公式由协方差的定义及期望的性质,可得 Cov (X,Y )=E {[ X-E(X )][Y-E(Y ) ]} =E( XY )-E(X)E(Y )-E(Y)E (X)+ E(X)E(Y ) =E( XY )-E(X)E(Y)即下页《概率统计》下页结束返回若X 1,X 2, …,X n两两独立,,上式化为 D(X+Y )= D(X )+D(Y )+ 2 Cov (X,Y) 4. 随机变量和的方差与协方差的关系),(2)()( 11 ji ni ni ji iiXX Cov XDXD?????????????? ni ni iiXD XD 11)()(下页《概率统计》下页结束返回二、相关系数为随机变量 X和Y的相关系数. 定义: 设D(X )>0, D(Y )>0, )()( ),(YDXD YX Cov XY??称在不致引起混淆时,记为. XY??下页《概率统计》 Cov ( X,Y ) ,ρ XY 解: E(X ) = 2 , E(Y ) = 2 ;E(X 2 ) = 9/2 , E( Y 2 ) = 9/2 D(X ) =1/2 , D(Y ) = 1/2 E( XY ) = Cov (X,Y ) = 23/6 – 4 = - 1/6 ; 3 12 12 1 6 1)()( ),(?????YDXD YX Cov XY???? Y 1 2 3 1 0 1/6 1/12 2 1/6 1/6 1/6 3 1/12 1/6 0 X 1/4 1/2 1/4 6 23 ??? ijjij ipyx 1)相关系数的计算下页《概率统计》 X的方差 D(X)≠0且 Y=aX+b (a≠0), 求X和Y的相关系数ρ XY. 解: 2 ( ) ( ) ( ), D Y D aX b a D X ? ??( , ) {[ ( )][ ( )]} Cov X Y E X E X Y E Y ? ? ?{[ ( )][ ( )]} E X E X aX b E aX b ? ? ??? 2 [ ( )] aE X E X ? ?( ). aD X ?)()( ),(YDXD YX Cov XY?? 2 ( ) ( ) ( ) aD X D X a D X ?| | aa ? 1, 0 . 1 0 aa ????? ??下页《概率统计》下页结束返回 2. X和Y独立时, =0 ,但其逆不真. ?由于当 X和Y独立时, Cov (X,Y )= 0. 故)()( ),(YDXD YX Cov ??= 0 0??但由并不一定能推出 X和 Y 独立. 请看下例. 2)相关系数的性质及其与独立性的关系 11?||.?下页《概率统计》(-1/2, 1/2) 内的均匀分布,而 Y= cos (X),求X,Y的相关系数。因而=0 , ?, 即X和Y不独立. 解: 不难求得 Cov (X,Y )=0. 相关系数刻划了 X和Y间“线性相关”的程度. )0)() cos( )(,0)(( 2/12/1?????dx xfxx XY EXE因为下页《概率统计》下页结束返回但对下述情形,独立与不相关等价若(X,Y)服从二维正态分布,则 X与Y独立 X与Y不相关?显然,若 X与Y独立,则 X与Y不相关, 但由 X与Y不相关,不一定能推出 X与Y独立