文档介绍：“点差法”在解析几何题中的应用
在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法: 设弦的两个端点坐标分别为 X1,y1、X2,y2，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中
点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法” ，此法有着不可忽 视的作用，，以供参考.
1 求弦中点的轨迹方程
2
例1已知椭圆却y2
1，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.
解 设弦的两个端点分别为
,Q X2,y2 ， PQ 的中点为 M X, y .
Xi
2
y1
2 得:
2 2
X1 X2
2
2
X2
2
y1
y22 1,
2
y2
X2
2
% 丫2
X1 X2
yi
y2
0.
又 X1 x2
2x, yi
y2
2汕y2
X1
2， X 4y 0.
X2
Q弦中点轨迹在已知椭圆内,
所求弦中点的轨迹方程为X 4y 0
（在已知椭圆
内）.
例2 直线l : aX y a 5
0（ a是参数）与抛物线f
2
的相交弦是
AB，则弦AB的中点轨迹方程是
解设A X1,y1 > B X2,y2
，AB中点M X, y，则
X1
X2
2x .
l过定点N 1, 5 ，
kAB
kMN
又y1
2
X1 1 ，（ 1）
y2
X2
得: y1
y2
X1
X2
1 2 X1
X2
X2 2
kAB
力 丫2
X1 X2
X1
X2
2.
于是 口 2x 2，即 y 2x2 7.
X 1
Q弦中点轨迹在已知抛物线内,
所求弦中点的轨迹方程为y
2x2
7 （在已知抛
物线内）.
2 求曲线方程
例3 已知 ABC的三个顶点都在抛物线y2 32X上，其中
A 2,8
,且ABC的
重心G是抛物线的焦点，求直线BC的方程.
解由已知抛物线方程得 G 8,0 .设BC的中点为M
xo,yo ，
G、M三点共
线，且AG
2GM，
ULUU
G分AM所成比为2，
于是
g 8
1 2
8 2y0
解得X0
y。
11
4
11, 4 .
设 B Xi,yi
,C
X2, y2
，则 y1 y2
8.
又y12
32xi，
(1) y2
32X2，（ 2）
1 2得:
2 2
y1 y2
X2 ，
kBC
y2
y1
X1 X2
32
y1 y2
32
8
4.
BC所在直线方程为
11 ，即 4x y
40 0.
2
例4 已知椭圆笃
a
2 y b2
0的一条准线方程是X
1,有一条倾斜角为
—的直线交椭圆于A B两点,
4
若AB的中点为
求椭圆方程.
解设A为,y,、
B X2,y2
，则X1
X2
1,y1
y2
2
X1
2 a
2
X2
2
a
2
宦 1，（2）
1 2 得:
2
X1
2
X2
2
a
2 2 y1 y2
b2
y1
y2
X1
X2
X1 X2
2
a y1 y2