文档介绍：1
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Π
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高等数学研究 V o l 3, N o. 1
61 STUD IES IN COLL EGE M A TH EMA T ICS M ar. , 2000
求旋转曲面方程的平行圆法
Π
杨亚莉(空军工程学院西安 710061)
ΞΠ
我们知道“一曲线绕一定直线旋转而成的曲面叫旋转曲面, 该曲线叫旋转曲面的母线, 定直
线叫它的轴”如果母线与轴异面, 这时如何求出旋转面的方程? 本文介绍一种适用的方法
对于旋转曲面而言, 母线上任一点的轨迹为中心在轴上的圆, 它所在的平面与轴垂直这样,
旋转曲面又可看成是“Π中心在轴上移动且与母线相交的平行圆所生成的”由此, 可任取定轴上一
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
点(a, b, c) , 设(l,m , n) 为轴的方向, 则平行圆的方程可表示为
2 2 2
Π S ≡(x - a) + (y - b) + (zΠ- c) =
(1)
p ≡ lx + m y + nz =
其中, 为参数又因平行圆与母线相交, 由母线的方程可推得参数间有关系:
F ( , ) = 0 (2)
由(1) , (2) 消去参数, 即得旋转面的方程为
F (s, p ) = 0 (3)
反之, 方程(3) 必表示旋转面
称这种求旋转面方程的方法为“平行圆法”
x - 1
例 1 求由 x oz 平面上直线= z 绕 z 轴一周所生成的旋转曲面的方程
2
分析母线与轴在同一平面上, 可用教材中方法求出旋转曲面方程为(2z + 1) 2 = x 2 + y 2; 也
可用平行圆法求解如下:
解取定轴上一点, 不妨取(0, 0, 0) 作圆心, 而 z 轴方向为(0, 0, 1) , 所以平行圆的方程为
3 5
其中L 为例 1 中的曲线从点( , - , 4) 到点(2, 2, 1) 的有向弧段
2 2
解 L 的参数方程已由例 1 给出, 其中 0≤t≤, 所以
2
2 2 2 2 2 2
I 1= [2x (t) - 2y (t) + z (t) - 1 ] x ′(t) + y ′(t) + z ′(t) d t
∫0
2 9
= 9 2 sin tco std t = 2
∫0 2
计算 I 2 时, t 由变到 0 的方向为曲线L 的方向, 所以
2
0
I 2= ∫{[x (t) + y (t) + 1 ]x ′(t) + [x (t) - y (t) ]y ′(t) + [z (t) - 1 ]z ′(t) }d t
2
0 3co s2t - sin2t 3 1 0 1
= d t = ( sin2t + co s2t) =
∫ 2 4 4 2
2 2
收稿日期: 1998- 09- 14
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