文档介绍：协方差及相关系数
前面我们学****了随机变量的数学期望和方差，对于多维随机变量，除了其数学期望和方差外，我们还要研究反映各分量之间关系的数字特征，其中最重要的，就是现在要讨论的
协方差和相关系数
1. 问题的提出
一、协方差与相关系数的概念及性质
在讨论这个问题之前，我们先看一个例子。在研究子女与父母的相象程度时，有一项是关于父亲的身高和其成年儿子身高的关系。
这里有两个变量，一个是父亲的身高，，英国统计学家皮尔逊收集了1078个父亲及其成年儿子身高的数据, 画出了一张散点图。
儿子的身高
父亲的身高
问：父亲及其成年儿子身高存在怎样的关系呢？
father
son
类似的问题有：
1、吸烟和患肺癌有什么关系？
2、受教育程度和失业有什么关系？
3、高考入学分数和大学学****成绩有什么关系？
……
???
协方差
定义 对两个随机向量(X,Y),若E(X-EX)(Y-EY)存在，
则称 cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)
为X和Y的协方差。
特别, 若X=Y,则 cov(X,X)=E(X-EX)2=D(X)
因此,方差是协方差的特例,
协方差刻画两个随机变量之间的“某种”关系.
可以证明 若(X,Y)服从二维正态分布,即
则
2. 定义
可见，若X与Y独立，则
4. 计算协方差的一个简单公式
Cov(X,Y)= 0 .
Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)
D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)
3 随机变量和的方差与协方差的关系
(5) Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)
(3) Cov(X,Y)=Cov(Y,X) (对称性)
(4) Cov(aX,bY)=abCov(X,Y) 其中 a、b是常数
下面请大家利用上面所学的知识进行证明。
(1) Cov(X,X)=D(X)
(2) Cov(X,c)=0 (c为常数)
协方差的数值在一定程度上反映了X与Y相互间的联系,*=kX,Y*=kY,这时X*与Y*间的相互联系和X与Y的相互联系应该是一样的,但是
Cov(X*,Y*)=k2Cov(X,Y)
为了克服这一缺点,在计算X与Y的协方差之前,先对X与Y进行标准化:
再来计算X*和Y*的协方差，这样就引进了相关系数的概念.