文档介绍：高等代数（2）试题B卷
（第二学期）
一、设向量线性无关，而线性相关。证明：或者与中至少有一个可以由线性表示，或者向量组与向量组等价。 （8分）
二、设证明：线性无关。 （8分）
三、设是向量空间到向量空间的一个同构映射，是的一个子空间。证明：是的一个子空间。 （6分）
四、设是一个行矩阵，秩从中任意取行，作一个行矩阵证明：秩 （6分）
五、设是向量空间的线性变换，且证明：和都在之下不变。 （8分）
六、设与是复数域上阶矩阵。证明：与有相同的特征根，并且对应的特征根的重数也相同。 （8分）
七、设和都是数域上的向量空间，且令是到的一个线性映射，如果选取的一个基：使得是的一个基，证明：
（1）组成的一个基；
（2） （8分）
八、设是一个正交矩阵。证明：
（1）的行列式等于1或-1；
（2）的特征根的模等于1；
（3）如果是的一个特征根，则也是的一个特征根；
（4）的伴随矩阵也是正交矩阵。 （16分）
九、设是维欧氏空间的一个线性变换。证明：如果满足下列三个条件中的任意两个，则它必然满足第三个：（1） 是正交变换；（2） 是对称变换；（3） 是单位变换。 （12分）
十、满足何条件时，实二次型
是正定的？ （6分）
十一、用正交变换化二次型为标准形式，并判定此二次型是否是正定的。 （14分）
高等代数（2）试题答案B卷
（第二学期）
证 由线性相关，知存在不全为零的数使
. 显然不全为零。否则中必有一个不为零， 式成为,说明线性相关。所以有下面三种情况：(1)此时可由线性表示，也可由线性表示。所以{}与{}等价。
（2）.此时可由线性表示。
（3）此时可由线性表示。8分
二、证 设存在数使得依次求导1，2，3次，得关于的线性方程组
其系数矩阵为
所以线性无关。 8分
三、证 取则存在使得故
这是因为 。从而是的子空间。6分
四、证 因为秩，所以存在个行向量线性无关。在中划去行而得到的行向量组的极大无关组所含向量个数。因此中存在个线性无关的列向量。在中划去个列向量，得到，则中线性无关的列向量个数。将（*）式代入上式得
，因而秩. 6分
五、证 对任意显然存在中使故而故上式中
所以在之下不变。
同理，对任意有从而故所以在之下不变。 8分
六、证 因为
上面式两端取行列式，立得
于是
所以，与的特征多项式完全相同，进而特征根及特征根的重数也相同。 8分
七、证 （i）因为是得基，故如果则存在使得
不妨令则
所以对于总能表达为形式
所以下面只需证
线性无关。
令即所以因而存在使得
因为{}是一组基，所以线性无关。
故（**）中均为零。于是得中线性无关。 6分
(ii) 由(i)的证明可知，
所以有
8分
八、证 （i