文档介绍：§ 协方差、相关系数和矩一、协方差和相关系数的概念对于二维随机变量,除了关心它的各个分量的数学期望和方差外,还需要知道这两个分量之间的相互关系,这种关系无法从各个分量的期望和方差来说明,这就需要引进描述这两个分量之间相互关系的数字特征——协方差及相关系数,但如何来刻画这种关系呢? 由(4-17) 知,若相互独立,则; 若,则表示 X与Y不独立,,我们引入下列定义),(YX?????? 0??? EY Y EX XE YX与?????? 0??? EY Y EX XE 定义 设是二维随机变量, 则称为X与Y的协方差( Covariance ),记为或,即(4—20) 若且,则称(4—21) 为X与Y的相关系数( Correlation Coefficient ). 是有量纲的量,而则是无量纲的量. 协方差常用下列公式计算事实上, ),(YX?????? EY Y EX XE???? YX, cov XY????YX, cov? XY??????? EY Y EX XE??0?? DX X? 0?? DY Y? XY? YX XY???? DY DX YX??), cov(?? YX, cov XY????? EY EX XY EYX???, cov 定理 (柯西—许瓦兹( Cauchy - Schwarz )不等式) (X,Y)为二维随机变量,若和存在,则(4—28) 证明因为, 所以存在. 另一方面,对任意λ,二次三项式, (4—29) 可见上述关于λ的二次三项式不可能有两个不同的实根, 因而判别式即有□定理 设( X,Y)是二维随机变量,若 X与Y的相关系数存在,则(1)(4—30) (2)的充要条件是存在常数使. ?? 2XE?? 2YE ??)()( 22 2YEXE EXY ???? 222 1YX XY???? XY E R??????? 02)( 2 22 2?????YE XY EXEYXE????? 0)()(44 22 2?????YEXE EXY ??)()( 22 2YEXE EXY ?? XY?1? XY?1? XY???,0b、 a??? 1???b aX YP 证明(1)由定理 知, 因此, 即,所以. (2)我们略去结论( 2)的充分性证明,这里只给出必要性的证明: 将二次三项式( 4—29)中的 X和Y分别换为和则对任意λ,有, 即. 特别地,当等于二次三项式的最小值点时,上式变为???????????????? DY DX EY YE EX XE EY Y EX XEYX????????? 22 2 2 cov ,1 ) cov( 2???????? DY DX YX,?? 1 2? XY?1? XY?)( EX X?)( EY Y? R???), cov( 2)()( 2 2 DY YX DX EY Y EX XE?????????0 2)( 2 22????? YYX XY XYXD???????? X Y XY?????? 0 ?0)1()( 22 0???? Y XYYXD???由于,故. 根据方差性质 4,有即于是, 存在常数和使□显然,利用( 4—31)亦可证( 4—30)的结论成立. 不过, 给出( 4—31)的主要目的还在于证明结论( 2)的必要性. 定理 表明: X与Y的相关系数是衡量 , X与Y依概率 1线性相关;特别当时,Y随X的增大而线性增大,此时称 X与Y线性正相关( Positive Correlation); 当时,Y随X的增大而线性地减小,此时称 X与Y线性负相关(Negative Correlation); 当变小时,X与Y的线性相关程度就变弱;如果=0,X 与Y之间就不存在线性关系,此时称 X与Y不相关( Uncorrelated ). 需要指出的是:这里的不相关,指的是从线性关系上看没有关联,并非 X与Y之间没有任何关系,也许此时还存在别的关系. 1? XY?0)( 0??YXD???)( 0 0YXEYXP?????1??? 1)()( 00?????YXEXYP?? 0???a)( 0YXEb????? 1???b aX YP 1? XY?1? XY?1?? XY? XY? XY?独立与不相关都是随机变量之间相互联系程度的一种反映, 独立指的是 X与Y没有任何关系,不相关指的 X与Y之间没有线性相关关系. 事实上,若 X与Y独立,则 X与Y一定不相关(这可以利用(4-10)和( 4-19)进行证明);但反过来,若 X与Y不相关,则 X与Y却未必独立. 然而,对于二维正态随机变量而言, X与Y的独立性与不