文档介绍：课时教案
授课章节
及题目
第四章曲线的凹凸性
授课时间
第15周周二第1、2节
课次
学时
（分掌握、熟悉、了解三个层次 ）
教学目标
与要求
曲线的凹凸性的判定定理，会求曲线的凹凸区间。
教学重点
与难点
教学重点：利用二阶导数判断曲线的凹凸性的方法
教学难点：导数不存在的连续点、也可能是曲线的凹凸区间的分界点。
教学用具
教学过程
环节、时间
授课内容
教学方法
课程导入 （10分钟）
中值定理
提问
一、曲线的凹凸与拐点
新课讲解 （70分钟）
讲解
那么称
那么称
定义
新课讲解
(70分钟)
钟)
定义
恒有
f(X1 X2) f (X1) f (X2) (2 )
f(X)在 I上的图形是(向上)凹的(或凹弧)如果恒有
f(Xi X2. f (X1) f(X2) (2 )
f(x)在 I上的图形是(向上)凸的(或凸弧)
设函数y f(M在区间
方，则称该曲线在区间
下方，则称该曲线在区间
I上连续 如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的上
I上是凹的；如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的
I上是凸的
定理设f(X＞在［a,b］上连续
在(a b)内具有一阶和二阶导数
那么
⑴若在(a, b)内f (x)
则f (x)在［a，b］上的图形是凹的
讲解
启发
⑵若在 (a, b)内 f (x)
则f(X)在［a,b］上的图形是凸的
证明只证(1)((2)的证明类似
)设Xi, X2 [a,b],(x X2)记xo
Xl X2
由拉格朗日中值公式
f (Xi) f (Xo)
f ( 1)(X1 Xo) f ( i)^hX2 Xi 1
Xo
f (X2)f (Xo)
f ( 2)(X2 Xo) f ( 2)X2 X'
Xo
2 X2
两式相加并应用拉格朗日中值公式得
f(Xi) f(X2)2f(X0)
f ( )( 2 1)宁
即 f(X1)_f(X2)f(笃
[f ( 2)
f(l)]X2 X1
f(X)在［a,b］上的图形是凹的
拐点连续曲线y f(X)上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点
确定曲线y f(X)的凹凸区间和拐点的步骤
(1)确定函数y f(x)的定义域
(2)求出在二阶导数f (X)
(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点
(4)判断或列表判断 确定出曲线凹凸区间和拐点
根据具体情况(1 )、( 3)步有时省略
判断曲线y Inx的凹凸性
因为在函数y
是凸的
例2 判断曲线
丄
X2
In X的定义域(0,
0所以曲线y
X3的