文档介绍：极限计算方法总结
极 线 的 运 算 法 则
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《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之 一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极 限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来 较大困难，而极限学的好坏直接关系到 《高等数 学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些 结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种 方法，以便学员更好地掌握这部分知识。
一、极限定义、运算法则和一些结果
•定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高 等数学》函授教材，这里不一一叙述）。
说明：（1）一些最简单的数列或函数的极 限（极限值可以观察得到）都 可以用上面的
极限严格定义证明，例如：
= 0(a,b为常数且a= 0)
Iim(3x _ 1) = 5 ；
X—;2
lim qn
n »
0，当 |q|"时 ；
不存在,当|q 时；
（2）在后面求极限时，（1）中提到 的简单极限作为已知结果直 接运用，而不需再用极限严格 定义证明。
•极限运算法则
定理1已知lim f(x) , lim g(x)都存在，极限值分 别为A, B,则下面极限都存在，且有 (1)
lim[ f (x) _g(x)] = A _ B
⑵ lim f (x) g(x) 口 A B
(3)衍需诗，(此时需B"成立)
说明：极限号下面的极限过程是一致的； 同时注意法则成立的条件，当条件不 满足时，不能用。
•两个重要极限
(1)
sin x lim
x》0 x
-1
1
lim (1 X)： = e ・
x >0
说明：不仅要能够运用这两个重要极限本 身，还应能够熟练运用它们的变形形式，
作者简介：靳一东，男，(1964—)，副教授。
1 x
例如：四貯"，迎。心沪二。，xm(1 + 3「e ； 等等。
定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无 穷小(即极限是0)。
定理3当xto时，下列函数都是无穷小(即
极限是0)且相互等价，即有：
X 〜sin x 〜tan x 〜arcsinx 〜arctanx 〜ln(1 x)〜
x
e 1 o
说明：当上面每个函数中的自变量 X换成g(x)时
(g(x)T 0)，仍有上面的等价
关系成立，例如：当x > o时，e3x -1〜3x ； ln(1 - x2)〜-X2。
定理4如果函数f (x),g(x), fi(x),gi(x)都是x > x°时 的无穷小，且f(x)〜fi(x) , g(x)〜gi(x)，则当哝彳^ 存在时，xmx睪也存在且等于 心)迎冬，即
7 To g(x) IX。gi (x) 7
lim f (x) = lim fl^x)
x >xo g(x) x—；xo gi(x)
•洛比达法则
定理5假设当自变量 X趋近于某一定值(或无穷大)时，函 数f(x)和g(x)满足：(1) f (x)和g(x)的极限都 是0或都是无穷大；
f(x)和g(x)都可导，且g(x)的导数不 为0；
lim券存在(或是无穷大)；
则极限limf^也一定存在，且等于l i ，即 lim^ = lim
匸凶 o
g(x) g (x)
说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极 限时，应注意条件是否满足，只要有一 条不满足，洛比达法则就不能应用。特 别要注意条件(1)是否满足，即验证 所求极限是否为“ 0 ”型或“二”型；
0 O0 7
条件(2) —般都满足，而条件(3)则 在求导完毕后可以知道是否满足。另 夕卜，洛比达法则可以连续使用，但每次 使用之前都需要注意条件。
•连续性
定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处 都连续，即如果Xo是函数f(x)的定义去间 内的一点，则有 lim f(x)= f(Xo)。
•极限存在准则
定理7 (准则1)单调有界数列必有极限。 定理8 (准则2)已知{“},{*},{宥为三个数列， 且满足：
(2)
(1) y^x^zn,(n =1,2,3^ )
lim yn = a lim 三=a
n n 卜：■:
则极限nmxn一定存在，且极限值也是a，
即 lim xn =a
n—
、求极限方法举例
，再利用极限运算法则求 极限
例1四十
=lim」3x—伏二 22—=lim
x 1 (x — 1)(、3x T 2) x 1 (x—1)(、3x 1 2)
3x -3
注：本题也可以用洛比达法则。 例 2 lim、.n(\ n 2 - n-1)
n_
解
=iim』(n—2)二心
n 2 . n -1
分子分母同除以
lim 3
n—H： ：'