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第三章 变量变化速度与局部改变量 估值问题——导数与微分
学之之博，未若知之之要，知之之要，未若行之之实.
——朱熹：《朱子语类辑略》
 
在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了.
——恩格斯
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教学目标：本章目标是介绍导数概念、求导数的方法、微分及其运算。
要求理解导数的概念、会求导数与微分、掌握导数与微分的运算法则。了解牛顿的生平事迹和微积分发生与发展简史.
教学重点：导数概念、求导方法、微分概念；
教学难点：导数概念、微分概念、高阶导数的
概念；
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教学内容
§1 函数的局部变化率——导数
§2 求导数的方法——法则与公式
§3 局部改变量的估值问题——微分及其运算
数学家启示录
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第一节 函数的局部变化率－导数
问题提出
我们在解决实际问题时，除了需要了解变量之间的函数关系以外，，城市人口增长的速度，国民经济发展的速度等。
三类问题：
1：求变速运动的瞬时速度
2：求曲线上一点处的切线
3：求极大值和极小值
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抽象导数概念的两个现实原型
原型Ⅰ 求变速直线运动的瞬时速度.
匀速运动：
设 在[0，T]上连续，求 .
M
M0
P
M1
s
△s
O
瞬时速度 ；
变速运动：
瞬时速度 .
1. 提出问题
想一想 如何处理速度变与不变的矛盾？
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3. 回答两个思考题
⑴步骤
M
M0
P
M1
s
△s
O
①求增量 给 一个增量 ,时间从 变到了 ，
则
②求增量比（局部以匀速代变速）
③ 取极限（平均速度的极限值即为在时刻t0的瞬时速度）
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原型Ⅱ 求曲线切线的斜率.
和 是曲线
上两点它们的连线是
该曲线的一条割线，当点M沿曲线无限接近于点M0时，割线绕点 M0转动，其极限位置M0 T就是曲线在点M0处的切线（），求曲线在点M0处切线的斜率.
O
X
Y
Δx
M0
M
Δy
y0
x0
x0+Δx
T
α
β
（）
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思考
⑴步骤？
⑵数学思想方法？
提出问题
若 的图象是直线，则 ；
若 的图象是曲线，则 .
O
X
Y
Δx
M0
M
Δy
y0
x0
x0+Δx
T
α
β
（）
O
X
Y
Δx
M0
M
Δy
y0
x0
x0+Δx
β
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3. 回答两个思考题
⑴步骤
①求增量 给 一个增量 ，自变量由 变到 ，则
②求增量比
③ 取极限
其中 是切线 与轴 的夹角
O
X
Y
Δx
M0
M
Δy
y0
x0
x0+Δx
T
α
β
（）
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瞬时速度 平均速度
2：取极限
（第一步为第二步做准备）
总结：上面两个现实原型的范畴虽不相同，但从纯数学的 角度来考察，
所要解决的问题相同：求一个变量相对于另一个相关变量的变化快慢程度，即变化率问题；
处理问题的思想方法相同；矛盾转化的辨证方法；
数学结构相同：函数改变量与自变量改变之比，当自变量改变量趋于零时的极限.
由这两个具体问题便可抽象出导数的概念。
1：化 为
切线 割线
2：取极限
1：化 为