文档介绍:用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法
(1)线线平行
证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量.
(2)线线垂直
证明两条直线垂直,只需证明两条直线的方向向量垂直,即.
(3)线面平行
用向量证明线面平行的方法主要有:
①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;
②证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量;
③利用共面向量定理,即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量.
(4)线面垂直
用向量证明线面垂直的方法主要有:
①证明直线方向向量与平面法向量平行;
②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题.
(5)面面平行
①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量);
②转化为线面平行、线线平行问题.
(6)面面垂直
①证明两个平面的法向量互相垂直;
②转化为线面垂直、线线垂直问题.
6、运用空间向量求空间角
(1)求两异面直线所成角
利用公式,
但务必注意两异面直线所成角θ的范围是,
故实质上应有:.
(2)求线面角
求直线与平面所成角时,一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量,通过数量积求出直线与平面所成角;另一种方法是借助平面的法向量,先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ,即可求出直线与平面所成的角θ,其关系是sinθ=| cosφ|.
(3)求二面角
用向量法求二面角也有两种方法:一种方法是利用平面角的定义,在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量,然后求出这两个方向向量的夹角,由此可求出二面角的大小;另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角,它与二面角的大小相等或互补.
7、运用空间向量求空间距离
空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离.
(1)点与点的距离
点与点之间的距离就是这两点间线段的长度,因此也就是这两点对应向量的模.
(2)点与面的距离
点面距离的求解步骤是:
①求出该平面的一个法向量;
②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量;
③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即得要求的点面距离.
直线的方向向量、平面的法向量及其应用
一、直线的方向向量及其应用
1、直线的方向向量
直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量平行(或共线)的向量,显然一条直线的方向向量可以有无数个.
2、直线方向向量的应用
利用直线的方向向量,可以确定空间中的直线和平面.
(1)若有直线l, 点A是直线l上一点,向量是l的方向向量,在直线l上取,则对于直线l上任意一点P,一定存在实数t,使得,这样,点A和向量不仅可以确定l的位置,还可具体表示出l上的任意点.
(2)空间中平面α的位置可以由α上两条相交直线确定,若设这两条直线交于点O,它们的方向向量分别是和,P为平面α上任意一点,由平面向量基本定理可知,存在有序实数对(x,y),使得,这样,点O与方向向量、不仅可以确定平面α的位置,还可以具体表示出α上的任意点.
二、平面的法向量
1、所谓平面的法向量