文档介绍：第五章
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向量概念; 向量运算:线性运算(加、减法，数乘)，向量乘法：
∧
1. 内积： a ⋅ b =| a ||b | cos(a,b)
若 = 则
a {a1 ,a2 ,a3 }, b = {b1 ,b2 ,b3 }, a ⋅ b = a1b1 + a2b2 + a3b3 .
∧ ∧
a ⋅ b 0
cos(a,b) = , a ⋅ b = 0 ⇔ ⊥ Pr j b =| b | cos(a,b) = b ⋅ a ,
| a || b | a b. a
∧
2. 外积： × = a × b ⊥ a, b; a, b,a × b构成右手系.
| a b | | a ||b | sin(a,b),
i j k
若a = {a ,a ,a }, =
1 2 3 b {b1 ,b2 ,b3 }, 则a × b = a1 a2 a3 .
⇐⇒ b1 b2 b3
a × b = −b × a. a // b a ×b = 0.
几 何 意 义：| a ×b |表示以a 和b 为邻边的平 行 四 边 形
的 面 积.
3. 混合积： [a,b,c] = (a × b)⋅ c. 坐标表达式:
若a = {a ,a ,a }, a1 a2 a3
1 2 3
则
b = {b ,b ,b }, [a,b,c] = b1 b2 b3
1 2 3
c = {c1 ,c2 ,c3 }, c1 c2 c3
几何意义： [abc]的绝对值表示以向量a、b 、c为
棱的平行六面体的体积.
[a,b,c]共面 ⇐⇒ [a,b,c] = 0
二、空间解析几何
（一）平 面：设平面以 n = (A, B, C) 为法向量, 且过点
M 0 (x0 , y0 , z0 ). 对任一点 M(x, y, z), M在平面上 ⇔
M0 M ⊥ n ⇔ M0 M ⋅ n = 0
平面的点法式方程
∴ A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0----
∴ Ax + By + Cz + D = 0 ----平面的普通方程
不共线三点A(x1 , y1 , z1 ), B(x2 , y2 , z2 ), C(x3 , y3 , z3 )
确定的平面方程：
x − x1 y − y1 z − z1
x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 = 0
x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1
x y z
+ + = 1 平面的截距式方程
a b c
x轴上截距 y轴上截距 z轴上截距
| Ax + By + Cz +