文档介绍：丽水学院 2012 届学生毕业论文 1 泰勒公式的几点应用理学院数学 082 本岑燕丹指导老师:杨征摘要:泰勒公式是非常重要的数学工具,在各类数学问题的解决中有着广泛应用。高等数学教材中对泰勒公式的理论部分已进行了较详细的介绍,但对于泰勒公式的应用涉及的相对较少。所以本文主要通过实例对泰勒公式的应用进行探讨。文中在对泰勒公式系统总结下,主要论述了一元函数泰勒公式在求极限、求极值与拐点及求近似值等的常规应用,还列举了其在判断敛散性、求行列式及解微分方程等的应用,更进一步证明了欧拉公式。文中还将一元函数的泰勒公式推广到二元函数的泰勒公式,以便将高等数学中泰勒公式的内容系统化,便于其研究内容的进一步发展。关键词;泰勒公式;应用;极限;行列式;微分方程;二元函数 0 引言泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容, 是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具, 集中体现了微积分“逼近法”的精髓, 在近似计算上有着独特的优势, 利用它可以将非线性问题化为线性问题, 且有很高的精确度,并在微积分的各个方面都有重要的应用。它还建立了函数的增量、自变量增量与一阶及高阶导数的关系, 将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数, 这种化繁为简的功能使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。我们还可以使用泰勒公式来很好的解决某些问题, 如求某些极限, 确定无穷小的阶, 证明等式和不等式,判断收敛性,判断函数的拐点以及解决中值问题等。 1 泰勒公式的引入设给定了一个函数?? f x ,我们要找到一个在指定点 0 x x ?附近与?? f x 很近似的多项式。我们的目的是希望找到一个关于?? 0 x x ?的n 次多项式???????? 2 0 1 0 2 0 0 n n P x a a x x a x x o x x ? ????????(1. 1) 来近似表示?? f x ,并使当 0 x x ?时,其误差???? n f x P x ?是较?? 0 n x x ?高阶的无穷小。我们把???????? 0 0 0 f x f x f x x x ?? ? ?, 与一次多项式???? 1 0 1 0 P x a a x x ? ??, 对照一下, 可知应该取???? 0 0 1 0 , a f x a f x ?? ?,而 0 1 , a a 的这两个数值可以由等式丽水学院 2012 届学生毕业论文 2 ???????? 1 0 0 1 0 0 , P x f x P x f x ? ?? ?,分别求得。事实上, ???????? 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 x x P x a a x x P x a a x x a ?? ? ???? ???? ?? ?由此不难推想, 为了确定 n 次多项式?? n P x 的全部系数, 我们应该假定?? f x 在点 0x 附近具有直到 n+1 阶的导数,别且满足下列条件: ???????????????????? 0 0 0 0 0 0 0 0 , , , , n n n n n n P x f x P x f x P x f x P x f x ? ??? ??? ????(1. 2) 由(1. 1) 计算?? n P x 在0x 点的各阶导数值,代入上面等式(1. 2) ,得?????????? 0 0 1 0 2 0 0 , , 2! , , ! nn a f x a f x a f x n a f x ? ??? ? ???, 即?????????? 0 0 0 0 1 0 2 , , , , 2! ! nn f x f x a f x a f x a a n ???? ????, 代入(1. 1) 式则得?????????????????? 2 0