文档介绍：第七章第七章多项式多项式有限域有限域§ § 域的特征域的特征素域素域? 域的特征? 素域 域的特征域的特征?设F是一个域, е是F的壹,作映射: σ:n→ ne, n ? I 。则: (1) σ是整数环 I到F内的映射。 因为 e ? F,所以 ne? F, 故σ(I) ? F。(2) σ是整数环 I到F内的同态映射。因为σ(m+n)=(m+n)e =me+ ne=σ(m)+ σ(n) , σ( mn )=( mn ) e=( me )( ne)=σ(m)σ(n)。设N是σ的核,则 N是I 的理想。从加法角度看N是I 的子群,而 I 在加法下是循环群,由循环群的子群是循环群知, N 是由某一元素生成的,设为 p,则 N = { np | n ? I} = pI。可设 p≥0,p称为 F的特征。由N是σ的核知,对?n?N, σ(n) = 0 F。特别地, p? pI = N ,故σ(p) = pe = 0 F。设n为乘法单位元 n=p ,即p是乘法单位元 e在加法下的周期。( 1) 当 p = 0 时, N = pI = {0} 。故σ(n)= ne = 0 F iff n ? N iff n=0=p 。即, e在F的加法群里面的周期是∞。(2) 当p>0 时, σ(n)= ne =0 Fiff n ?N iff n= pk, k?Iiff p|n 再由σ(p)= pe = 0 F,知n|p 。因此, n = p 。这就是说, e在F的加法群里面的周期是p。域F的特征 p或等于 0或是一个质数。证明:只需证若 F的特征 p≠0,则p一定为质数。用反证法。设 p不是质数,则 p = hk , 1< h < p , 1< k < p 因此, pe = ( hk )e = (he)( ke)而 pe = 0 F。因为域中无零因子,所以或 he= 0 F或 ke = 0 F,但这和 e的周期为 p矛盾。(由域是消去环,而消去环中所有不为 0 的元素在加法下的周期相同,且或为 0或为质数。) 定理定理 素素域域定理 设p 为质数或等于 0, 特征为 p 的任意域F包含 R P为其最小子域。证明: 设е是F的壹,作映射σ同前: σ:n→ ne , n ? I 。令I’为I在F内的同态映象:I′=σ(I)={ ne |n∈ I}, 则I’为环, I~ I’,且同态核 N= pI。故, I∕ PI ? I’。?若F的特征 p为质数, 往证 F包含 R P为其最小子域。?因p为质数,所以 I/PI=R P是一个域。?由I∕ PI ? I’,知I′是域,因此是 F的子域。?任取 F的子域 F’,则F’必然包含 e及其任意整数倍,即,必然包含 I′,所以 I′是F的最小子域。即, F包含和 R p同构的 I′为其最小子域。?现在用 1代表 F的壹: e=1 ,用整数 n代表 ne。特征是质数 p时, mod p 合同的整数代表 F的同一个元素, R p的元素写作 0,1 ,…, p-1 ,则抽象地看, R p与I′一样。这样,特征为 p的域便包含 R p为其最小子域。?若F的特征 p为0,往证 F包含 R 0为其最小子域。由 p=0 ,知σ的核 pI =0I={0} ,所以 I/ pI ={?,{-1},{0},{1}, ?}, 显然 I/ pI?I,而 I / pI ? I’,故I′?I。 I′还不是一个域,故扩充σ: ( n≠0) 往证σ为有理域 R 0到F内的一个同态映射。 ne me n m?