文档介绍：第四章能带理论 1目录 能带理论基本假定 布洛赫定理 周期势场中单电子状态的一般属性 近自由电子近似 紧束缚近似 2 能带理论基本假定在金属自由电子模型中讨论了电子的行为,解释了金属的导电、导热和电子比热等现象,但是,模型中完全忽略了晶体周期性势场的存在和作用,过于简单化,不能解释如:导体、半导体和绝缘体等基本问题。在晶体周期性势场中运动的电子,将表现出许多新特点,如: 电子波函数为调幅平面波,电子能量本征值在一定能量范围内准连续分布,并构成能带,二个能带间存在间隙,称为能隙。固体能带理论是目前研究晶体中电子状态,阐明晶体性质的最重要的基础理论。 3 一个严格的固体理论,应求解下述多粒子体系的薛定鄂方程的本征函数和本征值: ...) ... (... ...) ... (... ...) ... (... ...) (... 42 1 22 ...) ... (... H 00 2 2 22 2?????????????Rr RrRrR Rri ii jij ijr i iiE VVr e M m?????????????????????????第一和第二项为动能项对电子坐标 i 和原子核坐标?求和, 第三项是电子间库仑作用势, ? 0和? r分别为真空介电常数和固体相对介电常数, 第四项是原子核间相互作用势, 第五项是电子与原子核间相互作用势能。方程严格求解不可能,必须简化。固体能带理论是近似理论。 能带理论基本假定 4 绝热近似因为, m << M,电子质量远小于原子核质量, 所以, V i >> V ?,电子速度远大于原子核速度,在考察电子在有限时间内的行为,可以近似视原子核不动。另外,通常影响晶体性能的主要是价电子,而且,晶体中状态发生变化的电子主要也是价电子,因此,可以把内层电子和原子核看成一个离子实,价电子在固定的离子实的势场中运动。由此,原子核(离子实) 动能项近似取为零;并适当选择势能零点, 使原子核间相互作用势为零,即: 02 2 2?????M ?0...) (... 0??RV 能带理论基本假定 5 由此,固体电子系统的薛定鄂方程为: ...) ... (... ' ...) ... (... ...) ... (... 42 12 0 22 2???????? Rr RrRr i ii ijij ijr iE Vr em??????????????????这种把电子系统与原子核(离子实) 分开处理的方法称为绝热近似。上述方程虽然经过简化,但仍然是多电子体系的薛定鄂方程,精确求解仍然非常困难。因为,所有电子的状态都是相互关联的,任一电子的状态不仅与自身位置有关,而且和所有其它电子位置有关。 能带理论基本假定 绝热近似 6 ...) ... (... '...) ... (... ...) ... (... 42 12 0 22 2 ???????? RrRrRr iii ijij ijr i E Vr em ??????????????????引入其为所有其它电子对电子 i的平均作用势,只是 r i 的函数,使得: )(, iir??????? jij ijr i iir e??? 0 242 1)(r引入其为所有离子实对电子 i的平均作用势,只是 r i的函数,使得: , )( iiur...) ... (... )( ?Rrr ii iiVu??以上近似使得每个电子处在相同的势场中,这一势场就是所有电子和所有核的平均势场,与电子 i以外的其它电子的所有核的位置无关。 能带理论基本假定 平均场近似进一步简化下列方程 7 将, 和?????? jij ijr i iir e??? 0 242 1)(r???????????????? i ii ii iiiu m )()(2 2 2rr ?多电子系统的哈密顿量化简为单电子的哈密顿量之和。 能带理论基本假定 平均场近似?????????????????...) ... (... 42 12 H 0 22 2???? Rr i ijij ijr iVr em ??确定坐标只由电子, 式中, )()(2 2 2iiiiiiiium Hrrr????????为单电子的薛定鄂方程, )()( iiiiiiEHrr????得到代入?? i iH ???????????????? i iiiiium )()(2 2 2rr ? H ??...) ... (... )( ?Rrr ii iiVu??8 )()(, 单电子的薛定鄂方程, iiiiiiEHrr????由于所有电子都满足同样的薛定鄂方程