文档介绍：考研数学知识点-高等数学
一. 函数的概念
1．用变上、下限积分表示的函数
（1） y = ∫0x f (t )dt ，其中 f (t )连续，则 dydx = f ( x )
（2）y = ∫ϕϕ12( (xx)) f (t )dt ，其中ϕ1 (x)，ϕ2 ( x )可导，f (t) 连续，
dydx = f [ϕ 2 ( x )]ϕ2′ ( x ) − f [ϕ 1 ( x )]ϕ1′( x )
2．两个无穷小的比较
lim f ( x ) = 0 ，lim g( x ) = 0 ，且lim gf((xx )) = l
（1）l = 0 ，称 f ( x ) 是比 g(x) 高阶的无穷小，记以
( x ) = 0[g ( x )]，称 g( x ) 是比 f ( x ) 低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0 ，称 f ( x )与 g( x )是同阶无穷小。
（3 ） l = 1 ，称 f ( x ) 与 g( x ) 是等价无穷小，记以
( x ) ~ g( x )
3．常见的等价无穷小
x → 0 时
sin x ~ x ，tan x ~ x ，arcsin x ~ x ，arctan x ~ x 1 − cos x ~ 12 x2 ， e x −1 ~ x ， ln(1 + x) ~ x ，
(1 + x) α −1 ~ αx
二．求极限的方法
1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则
2．两个准则
准则 1．单调有界数列极限一定存在
（1）若 xn+1 ≤ xn （n 为正整数）又 xn ≥ m （n 为正整数），则lim xn = A 存在，且 A ≥ m
n→∞
（2）若 xn+1 ≥ xn （n 为正整数）又 xn ≤ M （n 为正整数），则lim xn = A 存在，且 A ≤ M
n→∞
准则 2．（夹逼定理）设 g( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x )
lim g( x ) = A ，lim h( x ) = A ，则lim f ( x ) = A
3．两个重要公式
公式 1．lim sin x = 1
x→0 x
1
n
1
u
公式 2
． lim 1
+
= e ； lim 1
+
= e ；
n
u
n→∞
u→∞
1
lim(1 + v)v = e
v→0
4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换
5．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和数学二）
x → 0 时，e x = 1 + x + x2 + Λ + xn + 0(x n )
2!n!
sin x = x −
x3
+
x5
+ Λ + (−1)n
x2n+1
+ 0(x 2n+1 )
(2 n + 1)!
3!
5!
cos x = 1 −
x2
+
x4
−Λ + (−1)n
x2n
+ 0(x 2n )
(2 n)!
2!
4!
ln(1 + x) = x −
x2
+
x3
− Λ + (−1)n+1
xn
+ 0(x n )
n
2
3
arctan x = x −
x3
+
x5
− Λ + (−1)n+1
x2n+1
+ 0(x 2n+1 )
3
5
2n + 1
(1+ x) α =1+αx+α(α −1) x2 +Λ +α(α −1)Λ [α −(n−1)]xn +0(xn )
2! n!
6．洛必达法则
法则 1．（ 00 型）设（1）lim f ( x ) = 0 ，lim g(x) = 0 （2） x 变化过程中， f ′( x )， g′( x )皆存在
（3）lim f ′(( x )) = A （或∞ ）
g′ x
lim gf((xx )) = A （或∞ ）
′(x)
（注：如果lim