文档介绍：线性代数的学****方法和心得体会
一、学****方法
今天先谈谈对线形空间和矩阵的几个核心概念的理解。 这些东西大部分是凭 着自己的理解写出来的，基本上不抄书，可能有错误的地方，希望能够被指出。 但我希望做到直觉，也就是说能把数学背后说的实质问题说出来。
首先说说空间 （space） ，这个概念是现代数学的命根子之一，从拓扑空间开 始，一步步往上加定义，可以形成很多空间。线形空间其实还是比较初级的，如 果在里面定义了范数，就成了赋范线性空间。 赋范线性空间满足完备性， 就成了 巴那赫空间；赋范线性空间中定义角度， 就有了内积空间， 内积空间再满足完备 性，就得到希尔伯特空间。
总之， 空间有很多种。你要是去看某种空间的数学定义，大致都是 “存在一 个集合，在这个集合上定义某某概念， 然后满足某些性质 ”，就可以被称为空间。 这未免有点奇怪，为什么要用 “空间” 来称呼一些这样的集合呢？大家将会看 到，其实这是很有道理的。
我们一般人最熟悉的空间， 毫无疑问就是我们生活在其中的 （按照牛顿的绝 对时空观）的三维空间，从数学上说，这是一个三维的欧几里德空间，我们先不 管那么多， 先看看我们熟悉的这样一个空间有些什么最基本的特点。 仔细想想我 们就会知道，这个三维的空间： 1. 由很多（实际上是无穷多个）位置点组成； 2. 这些点之间存在相对的关系； 3. 可以在空间中定义长度、角度； 4. 这个空 间可以容纳运动，这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动（变换）， 而不是微积分意义上的 “连续 ”性的运动，
认识到了这些，我们就可以把我们关于三维空间的认识扩展到其他的空间。 事实上， 不管是什么空间， 都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的运动 （变 换）。你会发现，在某种空间中往往会存在一种相对应的变换，比如拓扑空间中 有拓扑变换，线性空间中有线性变换， 仿射空间中有仿射变换， 其实这些变换都 只不过是对应空间中允许的运动形式而已。
因此只要知道， “空间 ”是容纳运动的一个对象集合， 而变换则规定了对应 空间的运动。
下面我们来看看线性空间。 线性空间的定义任何一本书上都有， 但是既然我 们承认线性空间是个空间， 那么有两个最基本的问题必须首先得到解决， 那就是：
1. 空间是一个对象集合，线性空间也是空间，所以也是一个对象集合。那 么线性空间是什么样的对象的集合？或者说，线性空间中的对象有什么共同点 吗？
2. 线性空间中的运动如何表述的？也就是，线性变换是如何表示的？
我们先来回答第一个问题， 回答这个问题的时候其实是不用拐弯抹角的， 可 以直截了当的给出答案。 线性空间中的任何一个对象， 通过选取基和坐标的办法， 都可以表达为向量的形式。 通常的向量空间我就不说了， 举两个不那么平凡的例 子：
L1. 最高次项不大于 n 次的多项式的全体构成一个线性空间， 也就是说，这 个线性空间中的每一个对象是一个多项式。如果我们以 x0, x1, ..., xn 为基，那 么任何一个这样的多项式都可以表达为一组 n+1 维向量，其中的每一个分量 ai 其实就是多项式中 x(i-1) 项的系数。值得说明的是，基的选取有多种办法， 只要所 选取的那一组基线性无关就可以。 这要用到后面提到的概念了， 所以这里先不说， 提一下而已。
下面来