文档介绍：§ 凸函数和凸规划
1、凸函数及其性质
定义设是非空凸集,,如果对任意的有
,
则称是上的凸函数,或在上是凸的。如果对于任意的有
,
则称是上的严格凸函数,或在上是严格凸的。若是上的(严格)凸函数,则称是上的(严格)凹函数,或在上是(严格)凹的。
例线性函数既是凸函数,又是凹函数
定理设是非空凸集。
(1)若是上的凸函数,,则是上的凸函数;
(2)若都是上的凸函数,则是上的凸函数。
定理设是非空凸集,是凸函数,,则集合
是凸集。(称集合为函数在集合上关于数的水平集)
证:任取则有以及
因为是凸集,所以对于任意的有
又因为是上的凸函数,因此有
所以。因此是凸集。
定理设是非空开凸集,可微,则
(1)是上的凸函数的充要条件是
,
其中是函数在点处的一阶导数或梯度。
(2)是上的严格凸函数的充要条件是
,
定理设是非空开凸集,二阶连续可导,则是上的凸函数的充要条件是的Hesse矩阵在上是半正定的。当在S上是正定矩阵时,是上的严格凸函数。(注意:该逆命题不成立。)
2、凸规划及其性质
(MP)
如果(MP)的约束集是凸集,目标函数是上的凸函数,则(MP)叫做非线性凸规划,或简称为凸规划。
定理对于非线性规划(MP),若
皆为上的凸函数,皆为线性函数,并且是上的凸函数,则(MP)是凸规划。
证:记,
则有。因为各是凸函数,,各水平集
是凸集。

是凸集。易证也是凸集。因而是凸集。又由于是上的凸函数,所以(MP)是凸规划。
定理凸规划的任一局部最优解都是它的整体最优解。
证:设是凸规划(MP)的