文档介绍：第八章标准服务系统 M/M/n 系统
鱼与熊掌兼得?
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M/M/n 损失制
M/M/n 损失制,无限源(M/M/n: /n/FIFO)
令从顾客源来的顾客到达率为,每台的服务率为
则有j = , j=0,1, ... , n–1; n=0, j = j, j=1, ... , n
将j , j 代入生灭方程,得
式中=/称为业务量(traffic),是无量纲量;表示单位时间内要求系统提供的服务时间; 和的单位必须一致;由于纪念Erlang,用爱尔兰作单位(Erl)
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系统的服务质量
系统的质量用顾客的损失率来度量,有两种度量方法
按时间计算的损失率 pn,即单位时间内服务台全被占用的时间
按顾客计算的损失率 B,即单位时间内损失的顾客数与到达顾客数之比
在本系统中有 B=pn=En(),称为爱尔兰损失公式
不是所有系统都有 B=pn 的性质
工程上经常是已知,给定 B,求所需最少的服务台 n
求 n 一般有三种方法:迭代计算,查图,查表
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求所需服务台的方法
1、查图,如书上262页
2、迭代计算
无法由 En() 给出 n 的逆函数,因此采用逐次试算的方法
注意, En() 有较简单的递推公式
3、工程上经常采用查表的方法
爱尔兰表最左边一列为服务台数 n,最上面一行为服务质量的不同等级,即 B
爱尔兰表中元素的值为,表示服务台数为 n,服务质量为 B时,系统最大所能承担的业务量;工程上经常用A表示,A 是加入话务量
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爱尔兰损失表
n=3, B=, 查表得=
已知 n 和如何求 B,线性内插法;例: n=3, =,由表可知 B 落在 ~ 之间,若假设在这区间所承担的业务量与 B 成线性关系,则有线性内插公式
B =+(-)(-)/(-)=
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例1 M/M/n 损失制无限源系统,已知 n=3,=5人/小时,平均服务时长30分钟/人,试求:(1)系统中没有顾客的概率;(2)只有一个服务台被占用的概率;(3)系统的损失率
解:由题意可知=60/30=2人/小时,所以=/=
(1) p0=(1+++!)1=
(2) p1= p0==
(3) B=E3()=p0 3/3!= =
例2 两市话局间的忙时平均呼叫次数为240,每次通话平均时长为 5 分钟,规定两局间中继线的服务等级为 B ,问:(1) 应配备多少条中继线?(2)中继线群的利用率为多少?
解:中继线群上的加入话务量为=240 5/60= 20Erl,
(1)查262页图,n=30条;
(2)查爱尔兰表可知: n=30,B= A=,B= 时可承担 A=,因此, E30(20)=+ (20)/()=
中继线群利用率= (1B)/n=20(1-)/30=
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服务台利用率与服务台数量的关系n 图
当给定 n 和 B 后,系统所能承担的业务量可以通过爱尔兰公式求出,从而可计算出服务台利用率;若保持 B 不变,不断增加服务台数 n, 也会发生变化,就可以得到n 图如下;通过观察,有几点结论:
1、B不变时, 随 n 增加;说明大电路群效率高
2、n 不变时, 随 B 增加;说明效率与质量是矛盾的;(高效路由)
3、具有边际递减规律
4、越大,系统抗过负荷能力越差
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系统过负荷特性B 图
过负荷是指系统加入的业务量 A, 超过给定服务质量所能承担的业务量 A
过负荷用过载业务量与标准应承担的业务量的比值来表示,即
= (AA)/A = A/A
En(A) = B, En(A) = B
由图可见,在同样标准的服务质量和同样的过负荷率下,大系统的质量劣化严重;说明效率与可靠性是矛盾的
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例3 某服务部门把顾客分为两组,分别组成两个单独的服务系统。各系统的到达率分别为1 =4人/小时, 2 =8人/小时,每人的平均占用时长都为 6 分钟;给定损失率为 B ,试求:(1)分组服务时每组应配备的服务台数;(2)合并为一个服务系统时,各种条件不变,应配备的服务台数;(3)比较两种组织方式的服务台利用率。
解:(1) 分组时: 1=4 =, 2=8