文档介绍：一阶微分方程的
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习题课(一)
一、一阶微分方程求解
二、解微分方程应用问题
解法及应用
第十二章
一、一阶微分方程求解
1. 一阶标准类型方程求解
关键: 辨别方程类型, 掌握求解步骤
2. 一阶非标准类型方程求解
(1) 变量代换法——代换自变量
代换因变量
代换某组合式
(2) 积分因子法——选积分因子, 解全微分方程
四个标准类型:
可分离变量方程,
齐次方程,
线性方程,
全微分方程
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例1. 求下列方程的通解
提示: (1)
故为分离变量方程:
通解
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方程两边同除以 x 即为齐次方程,
令 y = u x ,化为分
离变量方程.
调换自变量与因变量的地位,
用线性方程通解公式求解.
化为
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方法 1 这是一个齐次方程.
方法 2 化为微分形式
故这是一个全微分方程.
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例2. 求下列方程的通解:
提示: (1)
令 u = x y , 得
(2) 将方程改写为
(贝努里方程)
(分离变量方程)
原方程化为
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令 y = u t
(齐次方程)
令 t = x – 1 , 则
可分离变量方程求解
化方程为
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变方程为
两边乘积分因子
用凑微分法得通解:
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例3.
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设F(x)=f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(-∞,+∞)
内满足以下条件:
(1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程;
(03考研)
(2) 求出F(x) 的表达式.
解: (1)
所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:
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(2) 由一阶线性微分方程解的公式得
于是