文档介绍：习题课
1. 定积分的应用
几何方面:
面积、
体积、
弧长、
表面积.
物理方面:
质量、
作功、
侧压力、
引力、
2. 基本方法:
微元分析法
微元形状:
条、
段、
带、
片、
扇、
环、
壳等.
转动惯量.
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定积分的应用
第六章
例1. 求抛物线
在(0,1) 内的一条切线, 使它与
两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.
解: 设抛物线上切点为
则该点处的切线方程为
它与 x , y 轴的交点分别为
所指面积
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且为最小点.
故所求切线为
得[ 0 , 1] 上的唯一驻点
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例2. 设非负函数
曲线
与直线
及坐标轴所围图形
(1) 求函数
(2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体
解: (1)
由方程得
面积为 2 ,
体积最小?
即
故得
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又
(2) 旋转体体积
又
为唯一极小点,
因此
时 V 取最小值.
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例3. 证明曲边扇形
绕极轴
证: 先求
上微曲边扇形
绕极轴旋转而成的体积
体积微元
故
旋转而成的体积为
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故所求旋转体体积为
例4. 求由
与
所围区域绕
旋转所得旋转体体积.
解: 曲线与直线的交点坐标为
曲线上任一点
到直线
的距离为
则
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例5. 半径为 R , 密度为
的球沉入深为H ( H > 2 R )
的水池底, 水的密度
多少功?
解:
建立坐标系如图.
则对应
上球的薄片提到水面上的微功为
提出水面后的微功为
现将其从水池中取出, 需做
微元体积
所受重力
上升高度
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因此微功元素为
球从水中提出所做的功为
“偶倍奇零”
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例6. 设有半径为 R 的半球形容器如图.
(1) 以每秒 a 升的速度向空容器中注水, 求水深为
为h (0 < h < R ) 时水面上升的速度.
(2) 设容器中已注满水, 求将其全部抽出所做的功最
少应为多少?
解: 过球心的纵截面建立坐标系如图.
则半圆方程为
设经过 t 秒容器内水深为h ,
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