文档介绍：推广
第八章
一元函数微分学
多元函数微分学
注意: 善于类比, 区别异同
多元函数微分法
及其应用
第八章
第一节
一、区域
二、多元函数的概念
三、多元函数的极限
四、多元函数的连续性
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多元函数的基本概念
一、区域
1. 邻域
点集
称为点 P0 的邻域.
例如,在平面上,
(圆邻域)
在空间中,
(球邻域)
说明:若不需要强调邻域半径,也可写成
点 P0 的去心邻域记为
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在讨论实际问题中也常使用方邻域,
平面上的方邻域为
。
因为方邻域与圆
邻域可以互相包含.
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2. 区域
(1) 内点、外点、边界点
设有点集 E 及一点 P :
若存在点 P 的某邻域 U(P) E ,
若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ,
若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E
则称 P 为 E 的内点;
则称 P 为 E 的外点;
则称 P 为 E 的边界点.
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的外点,
显然, E 的内点必属于 E ,
E 的外点必不属于 E ,
E 的
边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
(2) 聚点
若对任意给定的,
点P 的去心
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邻域
内总有E 中的点,
则
称 P 是 E 的聚点.
聚点可以属于 E , 也可以不属于 E
(因为聚点可以为
所有聚点所成的点集成为 E 的导集.
E 的边界点)
D
(3) 开区域及闭区域
若点集 E 的点都是内点,则称 E 为开集;
若点集 E E , 则称 E 为闭集;
若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连,
开区域连同它的边界一起称为闭区域.
则称 D 是连通的;
连通的开集称为开区域,简称区域;
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。。
 E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
例如,在平面上
开区域
闭区域




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整个平面
点集
是开集,
是最大的开域,
也是最大的闭域;
但非区域.
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o
对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点
A 的距离AP K ,
则称 D 为有界域,
界域.
否则称为无
3. n 维空间
n 元有序数组
的全体称为 n 维空间,
n 维空间中的每一个元素
称为空间中的
称为该点的第 k 个坐标.
记作
即
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一个点,
当所有坐标
称该元素为
中的零元,
记作
O .