文档介绍：第八章
习题课
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一、基本概念
二、多元函数微分法
三、多元函数微分法的应用
多元函数微分法
一、基本概念
连续性
偏导数存在
方向导数存在
可微性
1. 多元函数的定义、极限、连续
定义域及对应规律
判断极限不存在及求极限的方法
函数的连续性及其性质
2. 几个基本概念的关系
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思考与练习
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1. 讨论二重极限
解法1
解法2 令
解法3 令
时, 下列算法是否正确?
分析:
解法1
解法2 令
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此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况,
此法排除了沿曲线趋于原点的情况.
此时极限为 1 .
第二步
未考虑分母变化的所有情况,
解法3 令
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此法忽略了的任意性,
极限不存在!
由以上分析可见, 三种解法都不对,
因为都不能保证
自变量在定义域内以任意方式趋于原点.
特别要注意, 在某些情况下可以利用极坐标求极限,
但要注意在定义域内 r , 的变化应该是任意的.
同时还可看到,
本题极限实际上不存在.
提示: 利用
故f 在(0,0) 连续;
知
在点(0,0) 处连续且偏导数存在, 但不可微.
2. 证明:
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而
所以 f 在点(0,0)不可微!
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例1. 已知
求出的表达式.
解法1 令
即
解法2
以下与解法1 相同.
则
且
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二、多元函数微分法
显示结构
隐式结构
1. 分析复合结构
(画变量关系图)
自变量个数= 变量总个数–方程总个数
自变量与因变量由所求对象判定
2. 正确使用求导法则
“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”
注意正确使用求导符号
3. 利用一阶微分形式不变性
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例2. 设
其中 f 与F分别具
解法1 方程两边对 x 求导, 得
有一阶导数或偏导数, 求
(99 考研)
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