文档介绍：复变函数总结
第一章复数的运算与复平面上的拓扑
一对有序实数（x,y）构成复数zxiy,其中xRez,，X称为复数的实部，y称为复数的虚部。复数的表示方法1）模：
zx2y2；
2）幅角：在z0时，矢量与x轴正向的夹角，记为是位于(,]中的幅角。
argzArgz（多值函数）；主值
3）argz与
arctanyx之间的关系如下：
yx；
当x0,
argzarctany0,argzarctanx0,y0,argzarctan当yxyx
4）三角表示：zzcosisin，其中argz；注：中间一定是“+”5）指数表示：
1）.加减法：若z1x1iy1,z2x2iy2，则z1z2x1x2iy1y22）.乘除法：
3）若z1x1iy1,z2x2iy2，则
z1z2x1x2y1y2ix2y1x1y2zzei，其中argz
z1x1iy1x1iy1x2iy2x1x2y1y2y1x2y2x1i2222z2x2iy2x2iy2x2iy2x2y2x2y4）若
z1z1ei1,z2z2ei2,则
z1z2z1z2ei12；
z1i12z1ez2z2
复平面对内任一点z,用直线将z与N相连,与球面相交于P点,则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系,
而N点本身可代表无穷远点,.
扩充复平面---引进一个“理想点”:无穷远点∞复平面的开集与闭集
复平面中领域，内点，外点，边界点，聚点，闭集等概念复数序列的极限和复数域的完备性复数的极限，，柯西收敛定理，魏尔斯特拉斯定理，聚点定理等从实数域里的推广，可以结合实数域中的形式来理解。
第二章复变量函数
,按这个法则,对于集合G中的每一个复数z,就有一个或几个复数wuiv与之对应,那末称复变数w是复变数z的函数(简称复变函数),记作wf(z).
1）复变函数的反演变换（了解）2）复变函数性质
反函数有界性周期性，3）极限与连续性极限：
设函数wf(z)定义在z0的去心邻域
连续性
0zz0内,如果有一确定的数A存在,对于任意给定的0,相应地必有一正数()使得当0zz0(0)时,有f(z)A那末称A为f(z)当z趋向于z0时的极限.
如果limf(z)f(z0),那末我们就说f(z)(z)在区域D内处处连续,我们说f(z)
1）复初等函数ezexcosyisinye2)指数函数：，在z平面处处可导，处处解析；且注：e是以2i为周期的周期函数。（注意与实函数不同）3)对数函数：主值：
zzez。
Lnzlnzi(argz2k)(k0,1,2)（多值函数）；
。（单值函数）
lnzlnziargzLnz的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且
lnz1z；
注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）
4)乘幂与幂函数：
abebLna(a0)；zbebLnz(z0)
bb1注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且
zbz。
eizeizeizeiz5)三角函数：
sinz2i,cosz2,tgzsinzcosz,ctgzcoszsinzsinz,cosz在z平面内解析，且sinzcosz,coszsinz
注：有界性
sinz1,cosz1不再成立；（与实函数不同）
ezezezez6）双曲函数
shz2,chz2；shz奇函数，chz是偶函数。shz,chz在z平面内解析shzchz,chzshz
第三章解析函数的定义
设函数wf(z)定义于区域D,z0为D中的一
点,点z0z不出D的范围,f(z0z)f(z0)
如果极限limz0z存在,
那末就称f(z)(z)在z0的导数,复变量函数的解析性
如果函数f(z)在z0及z0的邻域内处处可导,那末称f(z)(z)在区域D内每一点解析,则称
f(z)(z)是区域D内的一
个解析函数(全纯函数或正则函数).
）函数可导的充要条件：
fzux,yivx,y在zxiy可导
ux,y和vx,y在x,y可微，且在x,y处满足CD条件：
uv,xyuvuvfziyx此时，有xx。
2）函数解析的充要条件：
fzux,yivx,y在区域内解析
ux,y和vx,y在x,y在D内可微，且满足CD条件：
uv,x