文档介绍：§ Lagrange’s equation (4)
Chapter 4 Lagrange’s Mechanics
§ Basic concepts (2)
§ Principle of virtual work and its application (3)
§ d’Alembert’s principle & general dynamic equations (1)
§ Small oscillations (2)
引言
2) 能否找到新的动力学方程,使得对不同的力学系统和任意的曲线坐标都有统一的形式?
前三章的内容属于牛顿力学(或矢量力学)
牛顿力学的缺陷:
1、求质点组的运动时,要解大量的微分方程
2、有约束的系统,约束力常常是未知量,这使要求的力很
多,问题更复杂。
3、对复杂系统的运动,牛顿力学的矢量分析方法十分费力。
4、在各种曲线坐标系中运动微方取不同的形式。
问:
1) 能否避开求约束力和繁杂的矢量运算而得出系统的动力学方程?
以拉格朗日为代表的分析力学的问世回答了这些问题。
分析力学所重视的已不是直观的力和加速度,而是具有更广
泛意义的能量。从而使分析力学远远超出了解决力学的范围。
分析力学的产生背景:
18世纪30年代工业革命开始到19世纪,工程上呈现了许多“多质点,多约束,非常见坐标系”等复杂问题,从而客观上推动了传统的力学理论向实用化,普遍化,数学化方面发展。
1788年,Lagrange著《分析力学》,该书特点:1)全书没有一张图,2)完全用数学分析的方法解决力学问题。
分析力学方法在量子力学中有重要应用。如量子力学中的Schrödinger方程的建立应用了分析力学的H-J方程。
3) 能否以一特征量来代表一力学系统?
分析力学也曾被Rutherford 应用于α粒子散射;Sammerfield 应用分析力学理论扩充了Bohr的氢原子模型,为量子光谱理论开辟了道路。
分析力学的
基本理论体系
§ Basic concepts
1、定义:力学体系中,限制质点自由运动的条件称为约束。
如单摆,必须满足或的约束条件。
一、约束
2、分类:
(t)
如
如
含
含
实
有一种运动约束可经积分变为几何约束,如纯滚动。
(Holonomic constraint; Nonholonomic constraint)
几何约束与运动约束是按数学表式来分类的,而完整约束与
非完整约束是按物理实质来分类的。
4、约束力:
迫使力学系统遵守约束条件的力称为约束力。
(系)
只受完整约束的力学体系(质点组)称为完整系(组)。
(以后除特别说明,一般都指完整系)
2、自由度与约束方程数的关系
n个质点,k个约束的完整系,其自由度 S=3n-k。
或:对自由度为S的完整系,需要S个独立坐标来描述体系的运动。这S个独立坐标称为广义坐标。以表示。
二、自由度和广义坐标
1、自由度
确定系统运动状态所需的独立坐标数称之。
如空间自由质点的自由度为3, 平面运动质点的自由度为2
3、广义坐标
建立一个力学体系的动力学方程所必需的独立坐标称之。
讨论:1)广义坐标不限于长度量纲,也可以是:角度
电量q,面积A,体积V,电位移矢量
,磁化强度
2)自由度对一个系统是唯一确定的,广义坐标则可多种
选取。
例:
3)对非完整约束,自由度总小于广义坐标数。
(自由度=广义坐标数-非完整约束方程数)
,
:质点在某时刻的虛位移是指质点在该时刻的约束条件
下所允许作的任意无限小位移,以表示。
特点:
可
三、虚位移和实位移(Virtual displacement and actual displacement)
:质点由于运动而实际发生的位移。以d
表示。(dt
)。
特点:
四、虚功和理想约束
虚功:质点作虚位移
时,作用于质点上的力
所作的功
W=
理想约束:有一种约束,其约束力所做虚功之和为零,则称这种约束为理想约束。(或无功约束 workless constraint)
如质点约束在光滑曲面运动,这时约束力
总沿曲面的法线
方向。故
称为虚功。