文档介绍：三
上次我们布置了一道练习题,现在我们一起来把它的答案求出来。
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┃ 1 2 ┃┃ 1 3 ┃
┃ 3 1 ┃× ┃ 4 1 ┃= ?
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如果你还记得我们那个公共巴士的比喻,那么乘号左边的矩阵I代表了我们的巴士I号线的收费表,乘号右边的矩阵II代表了II号线的收费表。I是一个2×2的表格,II也是一个2×2的表格,我们有理由相信,它们的乘积也应该是类似的形式,也是一个2×2的表格。
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┃ 1 2 ┃┃ 1 3 ┃┃ a b ┃
┃ 3 1 ┃× ┃ 4 1 ┃= ┃ c d ┃
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但是,那答案到底是什么?我们该怎么求出abcd这四个未知数?更重要的是,I×II的意义是什么呢?
海森堡说,I×II,表示你先乘搭巴士I号线,然后转乘了II号线。答案中的a是什么呢?a处在第一行第一列,它也必定表示从A地出发到A地下车的某种收费情况。海森堡说,a,其实就是说,你搭乘I号线从A地出发,期间转乘II号线,最后又回到A地下车。因为是乘法,所以它表示“I号线收费”和“II号线收费”的乘积。但是,情况还不是那么简单,因为我们的路线可能不止有一种,a实际代表的是所有收费情况的“总和”。
如果这不好理解,那么我们干脆把题目做出来。答案中的a,正如我们已经说明了的,表示我搭I号线从A地出发,然后转乘II号线,又回到A地下车的收费情况的总和。那么,我们如何具体地做到这一点呢?有两种方法:第一种,我们可以乘搭I号线从A地到B地,然后在B地转乘II号线,再从B地回到A地。此外,还有一种办法,就是我们在A地上了I号线,随即在原地下车。然后还是在A地再上II号线,同样在原地下车。这虽然听起来很不明智,但无疑也是一种途径。那么,我们答案中的a,其实就是这两种方法的收费情况的总和。
现在我们看看具体数字应该是多少:第一种方法,我们先乘I号线从A地到B地,车费应该是多少呢?我们还记得海森堡的车费规则,那就看矩阵I横坐标为A纵坐标为B的那个数字,也就是第一行第二列的那个2,2块钱。好,随后我们又从B地转乘II号线回到了A地,这里的车费对应于矩阵II第二行第一列的那个4。所以第一种方法的“收费乘积”是2×4=8。但是,我们提到,还有另一种可能,就是我们在A地原地不动地上了I号线再下来,又上II号线再下来,这同样符合我们A地出发A地结束的条件。这对应于两个矩阵第一行第一列的两个数字的乘积,1×1=1。那么,我们的最终答案,a,就等于这两种可能的叠加,也就是说,a=2×4+1×1=9。因为没有第三种可能性了。
同样道理我们来求b。b代表先乘I号线然后转乘II号线,从A地出发最终抵达B地的收费情况总和。这同样有两种办法可以做到:先在A地上I号线随即下车,然后从A地坐II号线去B地。收费分别是1块(矩阵I第一行第一列)和3块(矩阵II第一行第二列),所以1×3=3。还有一种办法就是先乘I号线从A地到B地,收费2块(矩阵I第一行第二列),然后在B地转II号线原地上下,收费1块(矩阵II第二行第二列),所以2×1=1。所以最终答案:b=1×3+2×1=5。
大家可以先别偷看答案,自己试着求c和d。最后应该是这样的:c=3×1+1×4=7,d=3×3+1×1=10。所以:
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┃ 1 2 ┃┃ 1 3 ┃┃ 9 5┃
┃ 3 1 ┃× ┃ 4 1 ┃= ┃ 7 10┃
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很抱歉让大家如此痛苦不堪,不过我们的确在学习新的事物。如果你觉得这种乘法十分陌生的话,那么我们很快就要给你更大的惊奇,但首先我们还是要熟悉这种新的运算规则才是。圣人说,温故而知新,我们不必为了自己新学到的东西而沾沾自喜,还是巩固巩固我们的基础吧,让我们把上面这道题目验算一遍。哦,不要昏倒,不要昏倒,其实没有那么乏味,我们可以把乘法的次序倒一倒,现在验算一遍II×I:
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┃ 1 3 ┃┃ 1 2 ┃┃ a b ┃
┃ 4 1 ┃× ┃ 3 1 ┃= ┃ c d ┃
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我知道大家都在唉声叹气,不过我还是坚持,复习功课是有益无害的。我们来看看a是什么,现在我们是先乘搭II号线,然后转I号线了,所以我们可以从A地上II号线,然后下来。再上I号线,然后又下来。对应的是1×1。另外,我们可以坐II号线去B地,在B地转I号线回到A地,所以是3×3=9。所以a=1×1+3×3=10。
喂,打瞌睡的各位,快醒醒,我们遇到问题了。在我们的验算里,a=10,不过我还记得,刚才我们的答案说a=9。各位把笔记本往回翻几页,看看我有没有记错?嗯,虽然大家都没有记笔记,但我还是没有记错,刚才我们的a=2×4+1×1=9。看来是我算错了,我们再算一遍,这次可要打起精神了:a代表A地上车A地下车。所