文档介绍：对” r(A)=r,则其解空间V, dim(V)=n-r. ”的浅显证明
蒋尚师撰稿
对如下的方程组:
ai 1X
a2汎
I:
aniX
汁a X2+a x iHri+a nXn 弓0 i+a X2+Q x 2誉匕 + a nXn 三0
l + an X 2an X^3- +annXn =0 j
可以写成：
② Xi：i • X2 二 2 - X3 二3 •…Xn_：/ 二 0
d i m :-i ,2 ,3 ；F , n』=r
设 \，二2;二3;〉4； r-：：>线性无关，所以有:
• ki2〉2 • ki3 >3 •…kiri r
r -2 = k2i、r〔i ' k22、r〔2 ' k2^k2 r
〉n =心丄,「i - C 丄2— 〉3 •…
带入②:
Xi kiiXr，i - k2i Xr 2 ' k3iXr .3 •… 心-X. j：J -
X2 ki2 Xr i k22 Xr 2 "32 X「.3 飞』2 X. ：'2 +'
Xr i ksr X「3 心亠人：r =0
由于笃，>2, >3, >4,…：、线性无关，所以有
Xi
■ kiiXr i - k2i Xr 2 ' k3i X「.3 •…心亠乂.
X2 ki2Xr i k22 Xr 2 ks2 X「3 心」,2 Xn = 0
Xr 匕凡 i kz^r 2 .3 心—人=0
则有:
「1
0
0 …
0
k11
k 21
lx ■ ■ »
k31
k n _r ,1
仅
0
1
0 …
0
k12
k22
■ ■ ■
k32
k n _r ,2
1
X2
a
a
-
3
a
+
-
:
■
1 :
■
:
J -
:
X3
+
i
i
a
0
0
・.■ ■ *
0
■
-
-
:
.0
0
… 0
1
k1 r
k2r
lx ■・・
k3r
k n r ,r
=o
有:
Xi
X2
X3
扩展一下得到:
'ki
k12
kir
k 21
k22
k2r
k31
k32
k3r
n _r