文档介绍：第三章拉格朗日力学(上)
(参阅教材第二章)
(动力学基本方程)(教材§.)

为了系统地讨论处理未知约束力的比较方便的方法,我们引入虚位移和虚功的概念。先来看一个简单实例:一个质点,质量为,坐标为,已知的主动力,受到曲面约束,未知的约束力。
动力学方程为:
约束方程为: . 包含六个未知函数。在曲面光滑的情况下,未知的约束力可表为,于是六个未知函数归结为四个未知函数,由上述四个方程决定。
在时间间隔中,质点的位移为,称为实位移。(由动力学方程唯一决定)和分别满足时刻和的约束方程
从而
这是完整约束加在实位移上的条件。
在某一时刻想象质点发生一个约束所允许的无限小位移。这个虚位移不是由变化引起,而是满足某一时刻的约束条件的假想的位移(并不要求满足动力学方程,因而是不唯一的),所以称为虚位移。记为:(虚位移用来记,以示其无限小)。(广义)坐标的虚位移也称为(广义)坐标的变分(变更),变分的运算和微分相仿,例如:但要注意,所以这种变分也称为等时变分。和均满足同一时刻的约束方程
从而
这是完整约束加在虚位移上的条件。
比较完整约束加在虚、实位移上的条件,可知,在稳定约束情形下,和满足同样的方程,稳定的完整约束下实位移是虚位移中的一个;不稳定的完整约束下实位移不同于虚位移中的任一个。由此可见,虚位移其实不是力学中的位移(不需要用动力学方程来决定),它所刻划的是约束曲面的几何性质:全体虚位移组成了某一时刻约束曲面在某一点的切平面。而实位移仅当约束稳定时才位于约束曲面的切平面内。
【例】:膨胀着的肥皂泡(不稳定完整约束)
时刻质点位于球面上的一点;时刻质点位于球面上的一点。是实位移。满足

相减得,即
或, 即
另一点在球的切平面内距无限小。是虚位移
满足方程,与稳定球面约束对实位移所加的限制相同。
综上所述,我们把实位移和虚位移这两个概念列表比较如下:
实位移虚位移
在时间间隔真实发生的位移在某一时刻想象发生的位移
满足约束方程满足约束方程
并满足动力学方程不要求满足动力学方程
唯一确定不唯一(有无限多个)
力学中的概念(真实发生的位移) 几何学中的概念(刻画约束曲面的切平面)
以上讨论很容易推广到n个质点组成的质点系,动力学方程为:

其中为第个质点所受主动力,为第个质点所受约束力。
有k个完整约束使独立的坐标数目减少k个。
完整约束加在实位移上的条件为
其中还应满足动力学方程,是唯一确定的。完整约束加在虚位移上的条件为
使独立的坐标变分(虚位移)数目也减少了k个。由此可见,独立的坐标的数目和独立的坐标的变分的数目是相等的。
对于非完整体系, 如果还有g个线性非完整约束

其中均为坐标和时间的函数。
线性非完整约束加在实位移上的条件是
把改成并取,就得到线性非完整约束加在虚位移上的条件:

比较上两式可知,对于线性非完整约束,实位移是否与某一个虚位移相同,就看是否为零。也就是约束方程对于速度是否齐次。几何约束加在虚、实位移上的条件和线性非完整约束具有相似的形式(形式)。不同点在于前者可以积分;后者不可积分,不能像完整约束那样对广义坐标加以限制。因此,非完整约束使独立的坐标变分数目减少,而并不减少