文档介绍：第三章拉格朗日力学(下)
(参阅教材第二章、第五章)

(参阅教材57-59页)
物理规律和时空结构之间存在密切的联系。下面我们来分析守恒律和时空对称性之间的关系。我们在这里考虑的时空对称性是指时间、空间的均匀性和空间的各向同性,也就是在经历时间、空间平移或空间转动后物理规律保持不变的性质。而力学规律的不变性体现在的不变性。
为了研究空间的对称性,(不考虑时间的变化,)只考虑由变更引起的的变更
上式的证明利用了拉格朗日方程,,以及(即和可交换次序)。
的证明如下:
表示在时间间隔中发生的位移,表示在某一时刻的变更
即和可交换次序。
上式用直角坐标表示为,
空间均匀性,即空间平移不改变体系的力学性质,即dL=0。空间平移即为常量,所以,是动量。由于的任意性,得出,即是常矢量,动量守恒。
(2)空间各向同性,即空间转动不改变体系的力学性质,即。
考虑一任意的无穷小转动
,为角动量。由于的任意性,得出为常量,即角动量守恒。
(3)时间均匀性,即时间平移不改变体系的动力学性质。要求L不显含t,即,还要求约束不随时间改变,即约束稳定,(正是前述得到能量守恒的条件)从而得到能量守恒。
(参阅教材§.)
(1)由于拉格朗日力学的理论体系对任意的广义坐标都是成立的,拉格朗日方程在广义坐标的变换下具有不变性。也就是说:
如果拉格朗日函数,给出某一个力学体系满足的拉格朗日方程
,
考虑坐标变换:要求有逆变换: 即要求于是坐标变换使拉格朗日函数改变为新的拉格朗日函数

则这个力学体系满足给出的拉格朗日方程:
为了理解得更加具体,我们通过公式的推导,来验证上面的结论:
由坐标变换式得: 进一步可得经典拉格朗日关系:
以及
为证明新的拉格朗日方程成立,先计算:,

于是,如果原来的拉格朗日方程成立:,
则可导出新的拉格朗日方程也成立:
(当然,由于广义坐标不同,新旧拉格朗日方程的具体形式有所不同。)
上面的结论也可表为:
(2)我们已经学过,在经典力学中,理想,完整,保守体系的拉格朗日函数,由此推出的拉格朗日方程就是这种体系的动力学方程。如果另有一个函数,由此推出的拉格朗日方程也就是这个体系的动力学方程,那么我们也可以取它作为这个体系的拉格朗日函数(我们称这两个拉格朗日函数等价)。也就是说,拉格朗日函数不是,也没有必要是唯一确定的。
事实上,如果两个拉格朗日函数只相差一个坐标和时间的函数对时间的全导数,即,则这两个拉格朗日函数等价。(一个自由度的情形,证明见教材157页,一般情形请同学们自行证明。)
【思考】实际上,是方程的一个含有任意函数的解。上面这个方程和拉格朗日方程有什么区别?
我们还注意到,一个函数能否表为广义坐标和时间的某一函数的全导数,是与选用哪一套广义坐标无关的,(这一点是至关重要的,否则(1)与(2)两点会发生矛盾)即
事实上,
拉格朗日函数乘以常数,不改变拉格朗日方程(自行证明)。综上所述,对于拉格朗日函数的如下变换不改变拉格朗日方程。
(参阅教材§.)
同一力学问题在不同参考系中的描述,只是在观察的角度上有所不同,它们的动力学方程应该