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理论力学
动量矩定理
习题解答
理论力学
13-17. 如图示, 重物A的质量为m1,鼓轮B的质量为m2,对通过质心O的水平轴的回转半径为ρ。若不计滑轮D的质量,且B沿水平面只滚不滑,已知R和r,求重物A的加速度。
运动学关系:
aO = Rε
vA=(R+ r)ω
而
aA=(R+ r)ε
•
R
r
O
D
A
B
aO
ε
aA
A
•
R
r
O
B
FN
F
m2g
FT2
ε
FT1
m1g
aA
解: 重物A:
m1aA= m1g – FT1
鼓轮B:
m2aO= FT2 – F
m2ρ2ε= FT2r + FR
运动学关系:
aO = Rε
FT1 = FT2
aA=(R+ r)ε
aO
13-18. 如图示, 质量为m2的均质圆柱放在质量为m1的板上。板在力的作用下沿水平面运动,板与水平面间的动摩擦系数为f。若圆柱在板上只滚不滑,求板的加速度。
O
F
解:
O
F
F'N2
F'2
m2g
FN1
F1
m1g
FN2
F2
a
ε
aO
m1a = F – F1 – F2
F1= fFN1
FN1 – m1g – FN2= 0
m2aO = F'2
m2r2ε/2= F'2r
F'N2 – m2g = 0
板:
圆柱:
运动学关系:
aO=a – rε
13-19. 均质圆柱A和细圆环B的半径均为r、质量均为m,用轻杆AB铰接后放在倾角为θ的粗糙斜面上无滑动的滚下,如图示。试求AB的加速度和杆的内力。
θ
B
A
解: 以圆柱A为研究对象,受力如图。
θ
A
FNA
FA
mg
FT
aA
εA
maA= mgsin θ+ FT – FA
mr2εA /2 = FAr
运动学关系:
aA = rεA
由此可得
3maA /2 = mgsin θ+ FT
以圆环B为研究对象,受力如图。
θ
B
FNB
FB
mg
F'T
aB
εB
3maA /2 = mgsin θ+ FT
maB= mgsin θ– F'T – FB
mr2εB = FBr
运动学关系:
aB = rεB
2maB = mgsin θ– FT
由AB杆作平动可知:
a=aA= aB
a = (4gsin θ)/7
FT = –(mgsin θ)/7
C
•
v0
r
ω0
13-20. 如图示, 半径为r、质量为m的均质圆柱放在粗糙的水平面上。已知初始时刻rω0< v0, 圆柱与水平面间的摩擦系数为f,试问经多少时间圆柱才能只滚不滑地向前运动,并求该瞬时圆柱中心的速度。
解: 以圆柱为研究对象,受力如图。
FN
F
mg
由刚体平面运动微分方程有
+
m(dvC /dt) = – F
JC (dω/dt) = Fr
而 JC = mr2/2
F=mgf