文档介绍：第十章膨胀波和激波
§ 膨胀波
1、膨胀波的形成
㈠定常二维平面超音速流绕外钝角的流动
壁面转折点对超音速来流是一个扰动源。
在此扰动源产生的扰动向下游传播,是按马赫
锥传播的,马赫锥是以马赫线为标志的。马赫
线与均匀
来流的夹角
是马赫角。
㈡气流经过马赫线后,要偏转一定的角度。偏
转后,气流流通截面扩大,因此气流加速
(因为这是超音速流动),压力、温度等下
降。因此称为膨胀波。
㈢如果只是一条马赫线,不足以使气流产生很
大的转角,只能是一个微小偏转。这是小扰
动的特点。
因此在经过
一个有限转角
处,势必会发
出一系列
膨胀波。
㈣膨胀波束是由一系列马赫线所组成。气流经过
每道马赫线,速度上升一点,压力温度下降一
点,这个过程近似是等熵的过程。所以经过膨
胀波后,气流的总温总压是不变的。
㈤如果来流均匀,马赫线就是直线,膨胀波束就
是一个扇形。这样的膨胀波扇称为普郎特-梅耶
膨胀波(Prandtl-Mayer expansion wave)。
㈥除了物体形状变化处会产生膨胀波,由于压
力的不同也会产生膨胀波。
2、普郎特-梅耶膨胀波的计算
如图,O点的转折角为δ,超音速气流将
发生连续膨胀。
从马赫线OD开始连续变到马赫线OE为止。
中间存在无穷多条马赫线,组成一膨胀波组。
压力由p1下降到p2,速度由V1上升到V2,其变
化可看成无穷多个微小变化dp和dV的合成。在
膨胀区DOE中的流线是弯曲的,各马赫线与流
线之间的角度
沿着气流方向
逐渐变小。
先来建立经过一条马赫线的偏转计算。
按照顺时针转角为负的原则,向下的转
角为−δ。把来流速度V沿着与马赫线垂直与
相切的方向进行分解。
因为气流沿切线方向的速度是不会改变
的,这是从沿切向的动量定理知道的。这样
波前波后切向速度相等:
V cos μ
= ()+ dVV cos(μ− dδ)
因为cos(μ− dδ)= μ dδ+ μ sinsincoscos dδ
≈ cos μ+ dδ sin μ
dV dδ
所以 dtg δμ−=−=
V M 2 −1
dV
即δ Md 2 −−= 1
V
这就是经过一条马赫线后,气流的偏转角。
注意,此式中的负号是对于向下偏转的,如果
是向上偏转的,则变为正号。
为了得出经过膨胀波扇的总偏转角,需要
把上式积分。但是首先需要把速度和马赫数联
系起来。
由V2=M2c2=M2kRT,得
MkRT 2*
V 2 =
k −1
1+ M 2
2
微分此式,得
dV 1 dM
= ⋅
k −1
V 1+ M 2 M
2
代入一条马赫线的微偏转角,得到:
δ
M 2 −1 dM
d −= ⋅
()γ−+ ()M 2 211 M
这是最后的用M数表示的气流转角公式。
假设第一道马赫线处的气流马赫数为M1,
经过第一道马赫线后气流转折角为δ1;在最
后一道马赫线处的气流马赫数为M2,马赫线
δδ
后气流转折角为γδ2;则积分上式得到:
γ
+1 γ−1 2 2
12 −=− arctg ()M 2 1 +− Marctg 2 −1
γ−1 γ+1
γ+1 γ−1
+ arctg ()M 2 1 −− Marctg 2 −1
−1 γ+1 1 1
这就是气流从M1膨胀到M2所产生的转折角。