文档介绍：平面问题的基本理论
平面应力和平面应变
1、平面应力问题
等厚度薄板只在板边上作用有平行与板面(1)且不沿厚度变化(2)的面力、体力、约束。即都是在XY平面内的量。
X Z
O
Y Y
由于板面()上无勉励约束,板有很薄所以:
σz τzx τzy = 0
即只有σx σy τxy 三个XY平面上的应力分量。
应力分量只是 x、y的坐标函数,与z无关,同时形变ε、γ(包括εx、εy、εz、γxy、γxz 、γyz) 和位移(包括u、v、w)也都只是 x、y的坐标函数。
注意:εz、γxz 、γyz 和w不等与0 ?
2 平面应变问题
物体截面为很长的柱体,则任意一垂直于Z轴的截面(Z面)都是对称面(1)。体力、面力、约束只是 x、y的坐标函数,与z无关(2) (1) 于是位移w = 0 形变εz、γxz 、γyz = 0 且应力τzx 、τzy = 0 。
o x
y
(2) σx σy σz τxy三个XY平面上的应力分量只是 x、y的坐标函数,与z无关。
(3) 注意:σz不等与0 ?
由于z方向伸缩被阻止。σz = F(X,Y)
平衡微分方程
从薄板中取一微分单元,长dx , dy , 设其沿z方向的厚度为1,(单元体前后面的应力不同,σ= f (x,y) )
O x
σy
τyx
τx
σx fx
y
y
C
fy
Y
推导: 因为在沿X轴正应力由左侧σx 变为右侧σx/
过程中,y 值不变,即σ= f (x) ,泰勒级数展开得:
σx/ =
同理可得其他力的关系
2、平衡方程以中心C对小、X、Y取矩同样得:τyx = τxy 。
(dz=1)
两端同除dx dy 得:
同理得
得平衡微分方程:
这个方程有三个未知数σx 、σy 、τxy =τyx 。现在有两个方程。
对于平面应变存在σZ , 但在X、Y 平面上,此力无分量,所以不影响平衡微分方程的解答。
第三节平面问题中一点应力状态
在工程上强度较合时,需知道任意一点的任意斜面上的应力,如
σ1σ2σ3
O X
Y
1、单元体内任一点P,前面只是讨论了过P点的顺着X、Y轴的应力分量,下面我们取与X、Y轴夹角
α的斜截面,称AB面,法线为n,移去其它部分,如图。
为了研究方便,仍取AB面上全应力P(即正应力σn 和剪应力τn 的合力)沿X、Y做分量px 和py ,
O σy x
τyx
p f x B
τxy
σx f y px
ασn
τn n
A py p
y
根据整个三角形体的平衡可做如下公式因厚度为1,
设COSα= m sin α= l 设AB面积ds , 则PA的面积d PA = ds m d PB = ds l ,由
得: 同理由得
再将px 、 py 向σn 和τn 方向上投影得:
再将px 、 py 代入得:
几个重要概念:
应力主面(主应力面): 旋转α,使τn = 0 的面。
主应力:应力主面上的正应力σn 叫主应力。用σ表示 n叫应力主向
2、主应力的推导: 经过一系列的推导得:
σ1
σ2
应力主向
可证明即n1 、n2 互相垂直
主应力有两个,σ1 和σ2 且互相垂直。
3、最大最小应力
最大最小正应力σn , 任意旋转α使σn 最大和最小,可证明这最大最小正应力σn 正好是σ1 和σ2 。
最大最小剪应力为:
其方向为分别与σ1 和σ2夹45O 角
几何方程刚体位移
几何方程: 位移和形变的关系。
原因: 为求出平平衡方程中的多的未知数。到处位移和形变关系,再通过形变和应力的关系求出。
经过弹性体内任意一点P,沿X、Y作PA = dx PB = dy 受力后,P、A、B移动O 到P/ 、A/ 、B/ 如图
O x
u uA/
P A
v P vA/
α
B β A/
vB/
B/
uB/
Y
图中u 、v 是P点的位移,uA/ 、vA/ 、 uB/ 、vB/
分别是A、B点的位移。
根据泰勒级数展开:因为横向位移 F(X) X0 = XP
XA = X0 + dx
uA/ = F(X0+ dx)= F(X0)+
同理:
线应变
同理:
剪应变:
同理: