文档介绍：第五章弯曲应力
§ 纯弯曲
§ 纯弯曲时的正应力
§5-3 横力弯曲(剪切弯曲)时的正应力
§ 弯曲切应力
§ 提高弯曲强度的措施
§ 纯弯曲
1.
以矩形截面梁为例
(1)变形前的直线、变形后成为曲线、,变形前的,变形后仍为直线、,然而却相对转过了一个角度,且仍与、曲线相垂直。
(2)平面假设
根据实验结果,可以假设变形前原为平面的梁的横截面变形后仍为平面,且仍垂直于变形后的梁轴线,这就是弯曲变形的平面假设。
(3)设想
设想梁是由平行于轴线的众多纤维组成。在纯弯曲过程中各纤维之间互不挤压,只发生伸长和缩短变形。显然,凸边一侧的纤维发生伸长,凹边一侧的纤维缩短。由平面假设纤维由伸长变为缩短,连续变化,中间一定有一层纤维称既不伸长,也不缩短,这一层纤维为中性层。
(4)中性轴
中性层与横截面的交线称为中性轴,由于整体变形的对称性,中性轴由与纵向对称面垂直。P139
note:可以证明,中性轴为形心主轴。
§ 纯弯曲时的正应力
:
①变形几何关系
②物理关系
③静力关系
(1)变形几何关系
取dx微段来研究,竖直对称轴为y轴,中性轴为z轴,距中性层为y的任一纤维的线应变。
(a)
(2)物理关系
因为纵向纤维之间无正应和,每一纤维都是单向拉伸或者单向压缩,当应力小于比例极限时,由胡克定律
(b)
此式表明:任意纵向纤维的正应力与它到中性层的距离成正比。在横截面上,任意点的正应力与该点到中性轴的距离成正比。亦即沿截面高度,正应力按直线规律变化。
(3)静力关系
横截面上的微内力σdA组成垂直于横截面的空间平行力学。这一力系可能简化为三个内力分量:
横截面上的内力与截面左侧的外力必须平衡。在纯弯曲情况下,截面左侧的外力只有对z轴的力偶矩Me。由于内外力必须满足平衡方程,故:
①(c)
式(b)代入式(c)
∵
∴
结论:Z轴(中性轴)通过形心。
②(d)
式(b)代入式(d)
结论:y轴为对称轴,上式自然满足
③(e)
式(b)代入式(e)
(f)
∵
∴式(f)可写成
(g)
式中为梁轴线变形后的曲率,EIZ称为梁的抗弯刚度。
由式(g)和式(b)中消去得
讨论:(1)导出公式时用了矩形截面,但未涉及任何矩形的几何特性,因此,公式具有普遍性。
(2)只要梁有一纵向对称面,且载荷作用于对称面内,公式都适用。
(3)横截上任一点处的应力是拉应力还是压应力可直接判定,不需用y坐标的正负来判定。
§5-3 横力弯曲(剪切弯曲)时的正应力
讨论:公式的适用条件
(1)平面弯曲
(2)纯弯曲或l/h≥5的横力弯曲(σ,τ)
(3)应力小于比例极限。
引入记号:
W——抗弯截面系数(m3)
讨论:
(1)等直梁而言σmax发生在最大弯矩断面,距中性轴最远处ymax。
(2)对于变截面梁不应只注意最大弯矩Mmax截面,而应综合考虑弯矩和抗弯截面系数WZ两个因素。
(1)对抗拉抗压强度相同的材料,只要
即可
(2)对抗拉抗压强度不等的材料(如铸铁)则应同时满足:
(1)强度校核
(2)设计截面尺寸:
(3)确定许用载荷:
Example1 空气泵操作杆,右端受力F1=,1-1、2-2截面相同,均为h/b=3的矩形,若[σ]=50MPa,试选用1-1、2-2截面尺寸。
Solution
①求F2
kN
②求截面弯矩
M1=×(-)=·m
M2=×(-)=·m
故:
kN·m
③设计截面
mm3
∵ mm3
mm
∴ h=125mm
§ 弯曲切应力
切应力的分布规律与梁的横截面形状有关,因此以梁的横截面形状不同分别加以讨论。
(1)切应力的分布规律
当h>b时,按上述假设得到的解答与精确解相比有足够的准确度。
(2)切应力沿截面高度的变化规律
①从梁中取出dx段,而微段上无载荷作用。
②截面上的σ和τ的分布如图
③研究微块的平衡
(a)
式中:为离中性轴为y的横线以下面积对中性轴之静矩。
(b)
考虑到微块顶面上相切的内力系的合力
(c)
(d)
式(a)、(b)、(c)代入式(d)
(e)
(d)
∵
∴(f)
由切应力互等定理,横截面上pq线处切应力为
(g)
这就是矩形截面梁弯曲切应力计算公式。
④讨论