文档介绍：弹性杆件位移分析
————材料力学教案
学
时
4学时
基
本
内
容
变形与位移的相依关系
奇异函数及其在确定梁位移中的应用
叠加法
教
学
目
的
,位移的概念和基本公式。
。
。
重
点
和
难
点
重点:1)弹性杆件变形与位移和计算。
2)工程计算中的叠加法。
难点:间断性分布荷载和组合受力时的叠加法。
教
学
方法
叠加法应用于弹性支撑的情形——逐段刚化法。
讲授过程中在适当地方安排课堂讨论。
作业
第六章弹性杆件位移分析
§6-1 变形与位移的相依关系
1. 微段变形——应力分析中得到的结论
根据第3章和第4章的分析。得到与、、和对应的杆件微段的变形分别由图6-1a、b、c中的表达式确定。
dx+duN
(a)
(b)
(c)
同理:
图6-1
(6-1)
式6-1分别为微段的各种基本变形与对应的内力之间的关系。
2. 总体变形与横截面位移
在小变形情形下,与、、和对应的变形和位移都是相互独立的,因而可以单独加以分析和计算。
1)拉压杆的轴向变形与轴向位移
图6-2所示承受轴向荷载作用但无约束的杆件,采用积分和叠加方法,由式(6-1)得到对应于图6-2a、b、c所示的三种情形下杆件两端截面的相对位移,亦即杆件的总轴向变形的计算示为
图6-2
(a)
(b)
(6-2)
上述无约束杆件,在空间的位置不确定,因而无法确定杆件横截面的位移。只有确定了杆件在空间的位置,才能确定杆件横截面的位移。
2)梁的弹性曲线与梁的挠度和转角
梁在弯矩(My或Mz)的作用下发生弯曲变形,为叙述简便起见,以下讨论只有一个方向弯矩作用的情形,并略去下标,只用M表示弯矩,所得到的目结果适用于My或Mz单独作用的情形。
图6-3a所示的梁的变形,若在弹性范围内加载,梁的曲线在梁弯曲后变成一连续光滑曲线,如图6-3b所示。这一连续光滑曲线称为弹性曲线,或挠度曲线,简称弹性线或挠曲线。
梁在弯曲变形后,其横截面的位移包括三部分
挠度w一一横截面形心处的铅垂位移;
转角θ一一横截面相对于变形前的位置绕中性轴转过的角度;
水平位移u一一横截面形心沿水平方向的位移。
图6-3a
图6-3b
在小变形情形下,上述位移中u与w相比为高阶小量,故通常不予考虑。
图6-4
图6-4a、b、c所示三种承受弯曲的梁,在这三种情形下,AB段各横截面都受有相同的弯矩(M=a)作用。
根据式(6-1),在上述三种情形下,AB段梁的挠曲线具有相同的形状,即曲率(1/ρ)处处对应相等。但是,由于约束不同,梁的位移则不完全相同。对于图6-4a所示的无约束梁,因为其在空间的位置不确定,故无从确定其位移。
小挠度情形下<< 0 , << 0
应用式曲线的曲率公式:
(6-3)
以及
(6-4)
在小变形情况下,上示变为
(6-5)
图6-5
即为确定梁的挠度和转角的微分方程,称为小挠度微分方程。式中正负号与坐标取向有关,如图6-5所示,图6-5a取正号,图6-5b取负号。
若采用图6-5b所示坐标系统,则上式为
(6-6)
需要指出的是剪力对梁的位移有影响,但对于细长梁,这种影响很小,可以忽略不计。
3)圆轴扭转变形与相对扭转角
对于传递功率的圆轴。大多数没有限制其绕轴线转动的固定约束,故均采用“相对位移”概念,即一截面相对于另一截面绕轴线转过的角度,称为相对扭转角。
应用(6-1)第二式,通过积分,可得图6-6a、b、c的圆轴相对扭转角表达式:
(6-7)
(6-8)
图6-6
(6-9)
对于承受轴向荷载的杆和承受扭转的圆轴,即可应用式(6-1)中第二式和式(6-14)~(6-16)分别计算变形或位移。对于梁,则需建立弯矩方M=M(z)才能对式(6-13)积分,并需根据约束条件确定积分常数。
§6-2奇异函数及其在确定
梁位移中的应用
在第2章的讨论中,曾介绍了从平衡微分方程dFQ/dx=q(z)和M/dx=FQ(dx),导出FQ(x)、M(x)的表达式,这对于连续分布荷载作用情形是很方便的。对于有集中力、集中力偶以及间断性分布荷载作用的情形,需分段建立剪力方程和弯矩方程,再将这些分段的弯矩方程代人式(6-6),积分后将出现2n个积分常数,其中n为分段数。这显然是不方便的。本章将引人奇异函数可以避免上述方法带来的麻烦。
1. 奇异函数
定义对于n≥0 (n为正整数)的情形,
图6-7
(6-10)
式中,<z-a>"称为奇异函数(singular function)。当n=