文档介绍：第六章有限元法概述
第一节单元分析简例
1、单元分析的主要任务:
求出单元节点位移和节点力之间的转换关系。在推导此关系时规定:力和位移的方向若和坐标轴正方向一致者为正。
先举一个简单例子,图1示一拉压弹簧,弹簧系数为常量c,其轴线和x坐标轴重合,令此弹簧为一个单元,则弹簧的两端点i, j是此单元的两个节点。设在节点i, j上分别有轴向力和轴向位移。则当节点对单元有的作用力时,单元对节点有大小相等、方向相反的反作用力,
节点力:
这节点和单元之间的作用力和反作用力都称为节点力,对单元来讲节点力是作用于单元之力。
2、节点力和节点位移的关系
。图1可分解为两步
1)设节点j被固定,节点i产生正位移,则此时节点i作用在单元上的力是
i
Ui
ui
y
j
uj
Uj
x
而节点j作用在单元上的力是
2)是设节点i被固定,节点j产生正位移,此节点j对单元的作用力是
节点i对单元的作用力是
将两式合并,就得到
由式可以看出一个节点上的节点力不仅决定于本节点的位移,而且也决定于本单元其他节点的位移。
设以表示单元节点力向量:
以表示节点位移向量:
则式()可改写成:
式中
式中()就是单元节点位移和节点力之间的转换关系。是转换矩阵,称为单元刚度矩阵。所以单元分析的任务就是要求出本单元的刚度矩阵。
。
§2单元位移模式
对于一个复杂的弹性体,要想用某种函数来描述整体内任一点的位移是不大可能的。但当把弹性体离散化为许多细小的单元,则在一个单元的局部范围内是可以把某一点的位移近似的表达为其坐标的函数,这表达式称为单元位移模式。在单元范围内建立位移模式是有限元法的特色。
一般,位移模式都是用待定系数法求得。为了说明之,还以上述图1的拉压弹簧为例,设
式中
—单元中任一点的位移
x—单元中任一点的坐标
待定系数可由已知的节点坐标及位移来确定,这是因为既然位移模式代表了单元内任一点的位移,那么也应包括节点的位移,所以每代入一个节点的坐标及位移,就有一个解待定系数的方程,单元上有几个节点位移,或者说有几个自由度,就可以确定几个系数。上述弹簧单元只有两个自由度,故只能列出具有两个待定系数的多项式
令时,
时,
式中
—节点的坐标
—节点的位移
解方程(),得
将式代入得到
()
式()就是弹簧单元的位移模式:它表明单元中任一点的位移都是其坐标的函数。同时也表明只要已知单元节点位移,就可以通过位移模式推算出单元内任一点的位移。
平面问题的单元形式有很多种,其中最基本的形式是三节点三角形单元,以下将以这种单元为典型,讨论平面问题的
单元分析及整体分析。
3、三角形单元的位移模式
x
m
y
i
s
j
ui
vi
v
u
vi
ui
(x,y)
um
vm
O
图2示一个三角形单元,节点的坐标分别是其沿坐标轴方向的位移分别为显然,此单元共有六个自由度,故其位移模式可写成具有六个待定系数的多项式:
(1、 7)
式中
—单元中任一点的坐标
—该点沿轴的位移
1)先讨论水平X方向的位移:
将三个节点的坐标及其水平位移代入式()中的第一式,得:
解方程,可得
式()中三组和都是只和节点坐标有关的常数
i, j, m
()
记号表示格式()中的进行顺序轮换后,可以得出另外两组的表达式。
为了使三角形面积不为负值,应是逆时钟方向排列。将式()代入()的第一式,得
令
()
同样可证明
()
式(),()就是三角形单元的位移模式,将式(),()合在一起得:
或简写成
这就是由单元节点位移求得单元内部各点位移的转换式,是转换矩阵。
由(),()可知,当或而其他节点位移为零时,单元内任一点的位移为
这就是说,节点i发生单位位移时,函数表示单元内部的位移分布形状,
故也称为位移的形状函数,简称为形函数,矩阵称为形函数矩阵。
通过形状函数,就可以由单元体各接点位移计算出单元体内各点位移
由式()可知,三节点三角形单元的形函数是坐标的线性函数,从而其位移模式(),()也是坐标的线性函数。
线性位移模式的一个特点:
单元中的任一条直线在位移后,仍然是一条直线。所以相邻的三节点三角形单元的公共边线,在变形后仍是一条直线,只要两单元在公共节点处保持位移相等,则公共边线在变形后仍然保持密合。
单元应变
在上节中研究了由单元节点位移求单元内各点位移的方法,本节将研究如何由各点位移求各点相应的应变,并进一步导出由单元节点位移求单元内各点应变