第三章-相似矩阵.ppt

文档介绍：第三章
相 似 矩 阵
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§ 特征值与特征向量
一、方阵特征值与特征向量的定义与求法
二、方阵特征值的性质与应用
2
定义
设A是n阶方阵, 如果数 和n维非零列向量x满足
则称 为A的特征值, 非零向量x称为A的对应于(或属于)特征值 的特征向量。
把(1)改写为
使得(2)有非零解

(2)的所有非零解向量都是对应于 的特征向量.
是A的特征值

3
称为 A 的特征多项式，而 称为 A 的特征方程。
由代数基本定理，特征方程在复数范围恰有 n 个根(重根按重数计算)。因此，n 阶方阵在复数范围内恰有 n 个特征值。关于特征值、特征向量的讨论约定在复数范围内.
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性质
设 n 阶方阵 特征值为
, 则
又
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定义
设 n 阶方阵 互不相同的特征值为
, 即可设
其中
的代数重数，称对应于
为
，称
的线性无关的特征向量个数：
为
的几何重数。
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求矩阵 A，B 的特征值和特征向量。(注意二者的区别)
解 （对于矩阵A）
例
7
A 的特征值为
对于 ，解方程组
同解方程组为 ，令 ，得基础解系
因此，对应于特征值 的所有特征向量为
8
对于 ，解方程组
同解方程组为 ，令
得基础解系
因此，对应于特征值 的所有特征向量为
9
(对于矩阵B)
B 的特征值为
10