历届全国大学生数学竞赛预赛试卷.doc

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全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
一、填空题（每小题5分，共20分）
1．计算____________，其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域.
2．设是连续函数，且满足，则____________.
3．曲面平行平面的切平面方程是__________.
4．设函数由方程确定，其中具有二阶导数，且，则________________.
二、（5分）求极限，其中是给定的正整数.
三、（15分）设函数连续，，且，为常数，求并讨论在处的连续性.
四、（15分）已知平面区域，为的正向边界，试证：
（1）；
（2）.
五、（10分）已知，，是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.
六、（10分），，，使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.
七、（15分）已知满足，且，求函数项级数之和.
八、（10分）求时，与等价的无穷大量.
2010年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
一、（25分，每小题5分）
（1）设，其中求
（2）求.
（3）设，求.
（4）设函数有二阶连续导数，，求.
（5）求直线与直线的距离.
二、（15分）设函数在上具有二阶导数，并且，，
，且存在一点，：方程在恰有两个实根.
3. （15分）设函数由参数方程所确定，且，
其中具有二阶导数，曲线与在出相切，求函数.
四、（15分）设，证明：
（1）当时，级数收敛；
（2）当且时，级数发散.
五、（15分）设是过原点、方向为，（其中的直线，均匀椭球
（其中，密度为1）绕旋转.
（1）求其转动惯量；
（2）求其转动惯量关于方向的最大值和最小值.
六、(15分)设函数具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线上，曲线积分的值为常数.
（1）设为正向闭曲线，证明；
（2）求函数；
（3）设是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求.
2011年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
一、计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分）
（1）求；
（2）.求；
（3）已知，求.
二、（本题10分）求方程的通解.
三、（本题15分）设函数在的某邻域内具有二阶连续导数，且均不为0，证明：存在唯一一组实数，使得
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四、（本题17分）设，其中，，为与的交线，求椭球面在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值.
五、（本题16分）已知是空间曲线绕轴旋转形成的椭球面的上半部分（）（取上侧），是在点处的切平面，是原点到切平面的距离，：
（1）；（2）
六、（本题12分）设是在内的可微函数，且，其中，任取实数，定义，证明：绝对收敛.
七、（本题15分）是否存在区间上的连续可微函数，满足，，
?请说明理由.
2012年第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
一、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）解答下列各题（要求写出重要步骤）.
（1）求极限