文档介绍：第九讲
刚体定轴转动和平面平行运动
本讲导读
惯量椭球和惯量主轴
定轴转动角动量定理和机械能守恒律
定轴转动的轴上附加力
刚体平面平行运动的运动学
刚体平面平行运动的动力学
刚体平面平行运动时相对于质心的角动量定理
刚体平面平行运动时机械能守恒律
一、惯量张量和惯量椭球
对形状规则的刚体,将转动惯量写为积分形式
对通过空间某一点O的轴线, , , 为转动瞬轴相对于坐标轴的方向余弦, 则
一次算出轴转动惯量和惯量积, 通过O点的任一轴线的转动惯量都可得出.
三个轴转动惯量和六个惯量积作为统一的一个物理量, 代表刚体转动的惯性的量度,可以写为矩阵的形式
并叫它惯量张量, 元素叫惯量张量的组元或惯量系数. 利用矩阵乘法,得
惯量系数是点坐标的函数, 所以用静止的坐标系时, 刚体转动时,惯量系数随之而变. 通常选取固着在刚体上、并随着刚体一同转动的动坐标系, 这样, 惯量系数都是常数.
显然可以把惯量积通过选取坐标轴的方向而消除, 如在转动轴上, 截取线段
I 为刚体绕该轴的转动惯量, 则Q点的坐标将是
因过O点有很多转轴, 则有很多的Q点,这些点的轨迹是
这是一个中心在O点的椭球, 通常叫惯量椭球, 如O为质心,又叫中心惯量椭球.
椭球有三个主轴, 如坐标轴选取与之重合, 则惯量积消失.
I1,I2,I3称为O点上的主转动惯量. 此时,
椭球与主轴交点的位矢R的方向和椭球上该点法线的方向重合. 这是解析几何里求二次曲面主轴的方法, 或线性代数里求本征值的方法. 在力学里, 大都是对称的均匀刚体, 而这种刚体的惯量主轴, 则可根据对称性很方便地求出.
1 平动
(a)是平动, (b)不是平动
平动时刚体内所有点都有相同的速度和加速度. 通常用质心的运动来代表刚体整体的运动.
二、刚体的平动与绕固定轴的转动
2 定轴转动
刚体绕固定轴z轴转动时, 刚体中任何一点Pi, 都在垂直于z轴的平面内, 即xy平面内作圆周运动. 设在xy平面内, 其一质点的位矢是ri, 它和z轴距离为Ri , 如果在某一时刻, 质点Pi的线速度为vi, 则
定轴转动, 方向不变, 则
是角加速度. 在定轴转动中, 它的指向与角速度相同或相反, 并且也是沿着同一条转动轴线.
定轴转动的角动量定理为
有保守力作用的定轴转动的机械能为
3 定轴转动时轴上的附加压力
刚体绕定轴转动可以看作等价于空间两点A和B保持不动时刚体的运动. 显然是刚体受到了约束, 可以用动量定理和角动量定理来确定作用在A、B两点上的约束反力.
因为
所以
最后一式是刚体绕定轴转动的动力学方程, 其余五式, 用来求约束反力
前五式是
如
平衡方程, 最后式子是平衡条件, 对应约束反力是静力反作用力